relation binaire réflexive, symétrique et transitive.
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Niveau Maths sup
Relation binaire et ensemble quotient.
Posté par matheux14
Bonsoir,
Sur l'ensemble Z des nombres entiers, on définit la relation binaire R suivante :
xRy ⇔ 3x − y est un nombre pair.
1) Montrez que R est une relation d'équivalence.
2) Décrivez les classes d'équivalence des éléments 1 et 2.
3) Déterminez l'ensemble quotient Z/R.
J'ai pas compris cette 1ere question.
Est ce que je dois montrer que R est réflexive ?
salut
bien comprendre qu'une relation binaire signifie une relation qui relie deux éléments de l'ensemble ...
une relation unaire ne parlerait que d'un seule ensemble ...
mais bon une relation ... relie souvent deux choses ... 
R est équivalente si et seulement si :
R est réflexive, symétrique et transitive.
(x ; y) ∈ Z²
*Réflexivité : xRx ⇔ 3x-x=2k ⇔ 2x = 2k ( k ∈ Z)
* Symétrisation : xRy ⇔3x-y=2k ⇔ 3x=3y⇔x=y car R est réflexive ⇒ yRx ⇔ 3y-x =2k
* Transitivité : Soit (x ; y) ∈ Z²
xRy et yRx .
;
tels que
matheux14 @ 25-10-2021 à 04:22
Et pour la transitivité ?
commence d'abord par faire proprement la réflexivité et la symétrie ...
Et pour la transitivité ?
il serait d'apprendre à finir une question avant d'attaquer la suivante ....
ok ...
il n'est besoin d'aucune formule
pour tout réel x : 3x - x = 2x est évidemment pair donc x R x
en fait non pas OK !! : si tu pars de x R x alors il n'y a rien à faire
tu re marqueras que dans ma rédaction j'avance un argument qui me permet de conclure que x R x
...
carpediem @ 25-10-2021 à 09:24
il serait d'apprendre à finir une question avant d'attaquer la suivante ....
matheux14 @ 25-10-2021 à 04:22
Et pour la transitivité ?
commence d'abord par faire proprement la réflexivité et la symétrie ...
Et pour la transitivité ?
il serait d'apprendre à finir une question avant d'attaquer la suivante ....
* ;
;
.
Donc ;
R est donc réflexive.
* et soit
Si et
alors
est pair et
est pair.
Si et
alors
est impair et
est impair.
matheux14 @ 27-10-2021 à 17:28
* \in \Z²)
et soit 
*
Ne pas mélanger les symboles (
matheux14 @ 27-10-2021 à 17:28
Si
et 
alors 
est pair et 
est pair.
Si
et 
alors 
est impair et 
est impair.
Si
Si
Là tu n'aboutiras pas à grand chose
Constate plutôt que pour tous entiers
soit x R y
donc 3x - y est pair
donc -3(3x - y) est pair (car tout multiple d'un multiple est multiple)
or -3(3x - y) = 3y - x - 8x donc ...
soit x R y
donc 3x - y est pair
donc -3(3x - y) est pair (car tout multiple d'un multiple est multiple)
or -3(3x - y) = 3y - x - 8x donc 3y - x = 8x -3(3x - y) est pair.
Finalement y R x.
* x R y ==> 3x - y = 2k (1)
y R z ==> 3y - z = 2k' (2)
(k et k' de Z)
(2) ==> z = 3y -2k' = 9x -2[4(k+k')]
3x - z = 3x -9x +2[4(k+k')]
= 2[-3x+'(k+k')]
3x - z = 2x
Donc x R z
R est transitive.
J'espère que tu ne rédiges pas vraiment comme ça tes exercices en maths sup ! 
Pour la troisième partie, c'est tarabiscoté et le calcul est faux de toute façon (tu as confondu les k et les k'. il y a -6 k et -2 k' quand tu muliplies y par 3 et lui retires 2k', et non -8 de chaque.
Ecris plutôt
qui est une différence de deux entiers pairs 
(oui, tu as le droit d'utiliser yRz \implies zRy, mais seulement si tu prouves que la relation est symétrique avant d'attaquer la transitivité, ce qui est le cas ici)
Tu peux aussi opter pour un chemin plus découpé
C'est la même chose, avec un terme 2z en plus, qui est pair
2) *Classe d'équivalence de 1.
x R 1 <==> 3 -y = 2k
y = 2k +1
La classe d'équivalence de 1 est donc l'ensemble des nombres impairs.
* Classe d'équivalence de 2.
x R 2 <==> 6 - y = 2k
y = 6 - 2k = 2K (K de Z)
La classe d'équivalence de 2 est l'ensemble des nombres pairs.
3) Ensemble quotient : Z/R = { 2k+1 ; 2k}
3/ non ça ne va pas dans ce que tu écris ... quiest ce k ?
Z/R est un ensemble à deux éléments par exemple
avec ensemble des nombres pairs
et ensemble des nombres impairs
mais tu peux aussi le noter Z/R = {I, P}
avec I = ensemble des nombres impairs
etP = ensemble des nombres pairs
de rien
tu peux aussi remarquer que
(même si cette notation désigne un ensemble muni de deux opérations)
Oui, mais çà se démontre non ?
Les mathématiciens sont les seuls êtres humains dont 1 milliard de points concordants ne suffisent pas pour démontrer une théore..
Ca ne se démontre pas, c'est littéralement la définition de Z/2Z, l'ensemble des classes de congruence modulo 2 !
Bonjour
il n'y a que moi que cette équivalence choque ?
Citation :
2) *Classe d'équivalence de 1.
x R 1 <==> 3 -y = 2k
2) *Classe d'équivalence de 1.
x R 1 <==> 3 -y = 2k
où est passé x ? d'où sortent y et k ?
il manque un quantificateur pour définir k
ce ne serait pas plus simple en français ? x R 1 si et seulement si 3x - 1 est pair, c'est à dire si et seulement si 3x est impair, c'est à dire si et seulement si x+2x est impair, ou encore si et seulement si x est impair