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Niveau Maths sup
Relation d'éléments
Posté par matheux14
Bonsoir,
Merci d'avance. 
Soit X = {1, 2, 3, 4}.
Sur X on considère la relation R dont le graphe est l'ensemble G suivant : G = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(2, 4),(3, 4),(4, 2),(4, 3),(4, 4)}.
Cette relation est-elle réflexive ? symétrique ? antisymétrique ? transitive ?
*X est réflexive si on a : xRx pour tout x ∈ E et les couples (1 ; 1) , (2 ; 2) et (4 ; 4) vérifient cette condition.
*X est symétrique si pour tout couple (x, y) ∈ E × E, la
relation xRy implique la relation yRx. Tout les couples (x ; y) de G vérifient cette condition.
*X est dite anti-symetrique si pour tout (x, y) ∈ E × E, les
relations xRy et yRx impliquent l'égalité x = y. Tout les couples (x ; y) de G vérifient cette condition.
*e R est transitive si pour tout triplet (x, y, z) ∈ E ×E ×E,
les relations xRy et yRz impliquent la relation xRz :
(xRy et yRz) ⇒ xRz. Là je ne vois pas comment faire..
Bonsoir matheux14
Définition : une relation est réflexive dans un ensemble E si pour tout x de E on a xRx, ou encore, si pour tout x de E, le couple (x,x) est dans le graphe de la relation.
Et donc il en manquerait pas un gugusse dans G pour que la relation soit réflexive ?
Bonsoir jsvdb. J'espère que tu vas bien, ainsi que tes proches.
@matheux14 : bonsoir. Quel le couple "gugusse" auquel jsvdb pense ?
Bonsoir ThierryPoma. Oui, ça va, je te remercie ! Ces histoires de con-finement m'ont fait plus de bien que de mal ! c'est dire 
! Et toi ? Peut-être en MP ce sera mieux ...
Vu que X ne comporte que 4 éléments, et qu'il n'y a que trois couples de type (x, x) dans G, ça doit pas être bien compliqué de trouver le manquant
Citation :
*X est symétrique si pour tout couple (x, y) ∈ E × E, la
relation xRy implique la relation yRx. Tout les couples (x ; y) de G vérifient cette condition. Là je suis d'accord
*X est dite antisymétrique si pour tout (x, y) ∈ E × E, les
relations xRy et yRx impliquent l'égalité x = y. Tout les couples (x ; y) de G vérifient cette condition. Absolument pas : trouve un contre-exemple
*X est symétrique si pour tout couple (x, y) ∈ E × E, la
relation xRy implique la relation yRx. Tout les couples (x ; y) de G vérifient cette condition. Là je suis d'accord
*X est dite antisymétrique si pour tout (x, y) ∈ E × E, les
relations xRy et yRx impliquent l'égalité x = y. Tout les couples (x ; y) de G vérifient cette condition. Absolument pas : trouve un contre-exemple
Dans une relation antisymétrique, si un couple (x, y) se trouve dans le graphe avec x
y, alors il ne doit pas y avoir le couple (y, x).
Dans une relation symétrique, si un couple (x, y) se trouve dans le graphe avec x
y, alors il doit y avoir le couple (y, x).
conséquence : Dans une relation à la fois symétrique et anti-symétrique, il n'y a que des couples de type (x,x) dans le graphe.
Citation :
* R est transitive si pour tout triplet (x, y, z) ∈ E ×E ×E,
les relations xRy et yRz impliquent la relation xRz :
(xRy et yRz) ⇒ xRz. Là je ne vois pas comment faire..
* R est transitive si pour tout triplet (x, y, z) ∈ E ×E ×E,
les relations xRy et yRz impliquent la relation xRz :
(xRy et yRz) ⇒ xRz. Là je ne vois pas comment faire..
Autrement dit, dans les graphe, s'il y a un couple (x, y) et un couple (y, z) alors il doit y avoir le couple (x, z).
Citation :
Autrement dit, dans les graphe, s'il y a un couple (x, y) et un couple (y, z) alors il doit y avoir le couple (x, z).
Autrement dit, dans les graphe, s'il y a un couple (x, y) et un couple (y, z) alors il doit y avoir le couple (x, z).
Oui mais ici on n'a pas de z.. puisque (x, y, z) ∈ E ×E ×E
Ah oui, je crois que j'ai compris..
On a par exemple 1R2 et 2R1 ==> 1R1
Tout les couples de G vérifient cette condition ; donc X est transitive.
Eh bien non, tu n'as pas compris.
Relis bien la définition de la transitivité. Elle dit bien "POUR TOUT TRIPLET"
Du coup j'avais pas compris..
À cause du binaire. Je crois que ça va maintenant.
Pour le triplet (3 ; 2 ; 3) on a 3R2 et 3R2 mais pas 3R3.
Donc X n'est pas transitive.