Bonjour

Euh je vais peut être dire n'importe quoi mais ça me parait simple ...

si f=o(g), il existe une fonction convergente vers 0 telle que
si g=o(h), il existe une fonction convergente vers 0 telle que
Au final

et comme , et donc f=o(h)

non ?

f et g sont équivalentes au voisinage de a signifie qu'il existe une fonction e définie au voisinage de a qui tend vers 1 en a et f(x)=e(x)g(x).

A partir de ça il me semble que c'est très simple de démontrer que la relation équivalence est transitive.

Par rapport à ce que tu dis Nico86, on a le résultat suivant :

Si f est équivalente à g, alors une fonction est négligeable par rapport à f si et seulement si elle est négligeable par rapport à g.

Autrement dit o(f)=o(g).

Bonjour Nico86;
Pour bien voir la transitivité de l'équivalence des fonctions il faut revenir à la défintion du petit à savoir que si et sont deux fonctions définies dans un voisinage d'un point on a donc dire que ~ et ~ c'est dire que et ainsi pour un même en choisissant on a pour et on voit bien qu'on a aussi pour et comme la donne pour c'est à dire on voit que finalement on peut écrire et maintenant il suffit de remarquer que l'application est une bijection pour pouvoir écrire qui est la définition de c'est à dire ~ CQFD (sauf erreur...)

OK. Je viens de comprendre. Merci beaucoup elhor_abdelali, tu expliques très bien. Et merci aussi à stokastik et Nightmare pour votre aide.

?? Pourquoi ne pas prendre "ma" définition ? f(x)=e(x)g(x) avec e(x) qui tend vers 1. C'est bien plus simple.

Pour une raison très simple : je suis en train de faire une leçon de capes et il ne me manquait plus que cette démonstration pour la finir. Comme j'avais déjà choisi une définition de l'équivalence (celle que j'avais énoncé au début) différente de la tienne (même si au final, elles veulent dire la même chose), j'ai préféré prendre la solution de elhor_abdelali pour éviter de devoir recommencer toute la leçon. Mais si je devais la refaire, je pense qu'effectivement la tienne est plus simple. Voilà
Mais je te remercie aussi pour ta réponse.

Il y avait plus simple (et si l'on reprendre la définition proposée) :
Remarquons déjà que g-h=o(h) => g=O(h) (g dominée par h, c'est simple).
Donc f-g=o(g) => f-g=o(h) et je laisse terminer...

Comment fait-on pour éditer une réponse ? Car j'ai la facheuse habitude de laisser trainer des erreurs d'étourderies...

Je me permets d'ailleurs une réflexion : comment as-tu démontrer la symétrie sans utiliser un argument équivalent ? Ca me laisse perplexe.

Comment fait-on pour éditer une réponse ?

>> On ne peut point

Sticky

D'ailleurs je pense qu'il vaut mieux faire plus simple pour une leçon de capes...

Kilébo,

ce que je ne comprend justement pas, c'est pourquoi on a f-g=o(g) => f-g=o(h). Ca doit être tout bête mais je ne vois pas.
Pour la symétrie :
si f-g=o(g), il existe un réel strictement positif n tel que |t-a|<n entraîne :
|f(t)-g(t)|<1/2 |g(t)|, soit ||f(t)|-|g(t)||<1/2 |g(t)|
Puis 1/2 |g(t)| < |f(t)| < 3/2 |g(t)|
Cela prouve que f=O(g) et que g=O(f). Pour conclure, il suffit de dire que :
{f-g=o(g) et g=O(f)} implique que f-g=o(f), c'est à dire g-f=o(f).

Merci

Ce résultat bien formulé le voici :

Si f est équivalente à g, alors une fonction est négligeable par rapport à f si et seulement si elle est négligeable par rapport à g.

Autrement dit o(f)=o(g).


Tu peux le mettre en lemme dans ta leçon ce qui simplifierait la suite.

Démonstration :

Soient f et g équivalentes (je fais vite et je ne précise pas au voisinage de quel point)

Donc f=g+o(g), c'est-à-dire f(x)=g(x)+e(x)g(x) avec e(x)->0

Soit u négligeable devant f, c-à-d u(x)=e'(x)f(x) avec e'(x)->0.

On obtient u(x)=(e'(x)+e'(x)e(x))g(x)

Comme e'(x)+e'(x)e(x)->0, ceci montre que u est négligeable devant g.

OK, là je pense avoir tout compris. Merci à tous pour votre aide, c'est super sympa