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Relation d'équivalence

Posté par
matheux14 13-11-21 à 11:48

Bonjour,

1) Montrer que R la relation définie sur \R par : x~R~y \iff x e^y = y e^x est une relation d'équivalence.

2) Préciser pour x fixé, le nombre d'élément de \bar{x}

1) \forall (x ; y) \in \R²~ x e^y = y e^x \iff \dfrac{e^x}{x}=\dfrac{e^y}{y} \iff f(x) = f(y) donc R est une relation d'équivalence.

Posté par
carpediemre : Relation d'équivalence 13-11-21 à 11:55

salut

matheux14 @ 13-11-2021 à 11:48

1) Montrer que R la relation R définie sur \R par : x~R~y \iff x e^y = y e^x est une relation d'équivalence. mettre les mots dans le bon ordre dans une phrase

2) Préciser pour x fixé, le nombre d'élément de \bar{x}

1) \forall (x ; y) \in \R²~ x e^y = y e^x \iff \dfrac{e^x}{x}=\dfrac{e^y}{y} \iff f(x) = f(y) donc R est une relation d'équivalence.   tu n'as rien prouvé


si on note f a fonction définie par f(x) = \dfrac {e^x} x alors \forall (x, y) \in \R^2  {\red et  xy \ne 0}  :  x Ry \iff f(x) = f(y)

donc :

a/ traiter le cas x ou y nul
b/ prouver qu'on a bien une relation d'équivalence !!!

Posté par
Ulmierere : Relation d'équivalence 13-11-21 à 12:12

C'est peut-être plus rapide et moins piégeux de vérifier directement la réflexivité, la symétrie et la transitivité. Les deux premières sont particulièrement faciles et la troisième est facile aussi parce que

ze^x = e^{-y}\cdot ze^y\cdot e^x = e^{-y}\cdot ye^z\cdot e^x = e^{-y}\cdot e^z\cdot ye^x = e^{-y}\cdot e^z\cdot xe^y

Et je te laisse finir

Posté par
GBZMre : Relation d'équivalence 13-11-21 à 13:35

Bonjour,

Tu as fait un choix malheureux en définissant f par f(x)= \dfrac{e^x}x. Il y a un problème quand x=0.
Tu aurais mieux fait de définir f par f(x)= xe^{-x}. Là, plus de problème, f est bien définie sur tout \R.

Ceci réparé, ton argument est parfaitement valable si tu as comme résultat acquis que pour toute fonction f ; E\to F, la relation R sur E définie par x\;R\;y \Leftrightarrow f(x)=f(y) est une relation d'équivalence. Tu devrais peut-être mentionner explicitement ce résultat pour rassurer carpediem.

Posté par
matheux14re : Relation d'équivalence 13-11-21 à 18:32

Ok merci

2) Pour x fixé signifie que je pose x  = n avec n de N et je détermine la classe d'équivalence de x ou autre chose ?

Posté par
carpediemre : Relation d'équivalence 13-11-21 à 18:37

matheux14 @ 13-11-2021 à 18:32

2) Pour x fixé signifie que je pose x  = n avec n de N et je détermine la classe d'équivalence de x ou autre chose ?
un réel est-il entier ?

Posté par
matheux14re : Relation d'équivalence 13-11-21 à 18:46

Pas vraiment mais le contraire oui..


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