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Niveau Maths sup
relation d'équivalence et bijection
Posté par monroe88
Bonjour à tous,
J'ai un exercice sur les relations d'équivalence à résoudre et une question me pose probléme:
Voici l'énoncé:
Dans on définit la relation R par zRz' ssi |z|=|z'|
1. Montrer que R est une relation d'équivalence.
2. Déterminer la classe d'équivalence de chaque z .
3. Construire une bijection entre /R et un semble connu.
1. Résolu avec la définition d'une relation d'équivalence (réflexice, symétrique et transitive)
2. J'ai trouvé que la classe d'équivalence était le cercle de centre l'origine et de rayon |z|.
Ensuite pour la 3 je n'ai pas trop d'idées, si vous pouviez m'éclairer un minimum ce serait super.
Bonjour.
Dans l'ensemble quotient C/R, tous les nombres complexes de même rayon sont assimilés. Donc dans cet ensemble, les complexes ne diffèrent que par leur rayon.
La bijection naturelle serait :
Il reste à montrer qu'une telle application est bien définie, et qu'elle est effectivement bijective.
Merci William.
Du coup, on peut dire qu'elle est bien définie car tout élément de /R admet une image dans
.
On peut aussi montrer qu'elle est bijective car elle est:
- surjective : admet au moins un antécédent
- injective vu que les nombres complexes de l'ensemble de départ ont un module différent de part la définition de /R.
Citation :
Du coup, on peut dire qu'elle est bien définie car tout élément de
/R admet une image dans 
.
Du coup, on peut dire qu'elle est bien définie car tout élément de
Oui, mais il faut bien insister qu'il n'y a pas ambiguïté sur l'image : n'importe quel représentant d'une classe d'équivalence donne la même image.