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Niveau Licence Maths 1e ann
relations binaires, composition et cloture réflexive
Posté par bonux
Bonjour, il y a deux parties de mon cours que je ne comprend pas, pouvez-vous m'aider?
Premièrement :
Soit R une relation entre A et B et S une relation entre B et C. On définit la relation R◦S entre A et C par (a,c) ∈R◦S si et seulement si il existe b ∈ B, (a,b) ∈R et (b,c) ∈S La relation R◦S est la composée de R et de S.
ça serait pas plutôt S◦R? Je dis ça parce qu'en mathématiques c'est présenté dans cet ordre, puisque l'ensemble de départ est celui de R (donc l'ensemble A).
Deuxièmement, après avoir défini la clôture réflexive d'une relation R, on me donne à faire cet exercice :
Montrez que R= = R∪ =.
Il n'y a pas une erreur dans l'énoncé?
Je crois avoir compris. = est la plus petite relation réflexive car seule la diagonale de sa matrice remplit la relation. Or = est inclue dans R U =, donc R U = est réflexive aussi.
Et R= est la plus petite relation telle que R soit inclue dans R=.
Il manque certainement une étape à ma démonstration. Mais j'ai saisi le principe.
Ce que tu racontes est incompréhensible !
Soient X un ensemble et B(X) l'ensemble des relations binaires sur X (qui est en bijection avec P(X) )
Si R et S sont dans B(X) on peut noter " R 
S " la relation " { (x,y) 
X² │ xRy } 
{ (x,y) X² │ xSy } . C'est une relation d'ordre sur B(X) .
.Pour toute partie H de X² l'ensemble des R B(X) dont le graphe contient H admet un plus petit élément .
.Si R et S sont dans B(X) l'ensemble {R , S} a donc une borne supérieure notée R 
S ( dont le graphe est la réunion des graphes de R et S )
On te demande donc ce montrer que si E est la relation d'égalité sur X , pour toute R de B(X) , R E est la plus petite relation réflexive majorant R .
Quelque part c'est intuitif que celà soit la plus petite relation réflexive majorant R, puisqu'en complétant la matrice qui correspond à R avec des 1 dans sa diagonale on obtient bien une relation réflexive aussi. Mais après de là à le démontrer en terme mathématiques c'est bien compliqué pour moi! Je suis pas très douée pour ça.