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Relations d'équivalence sur un ensemble ordonné

Posté par simonosaxo (invité) 15-09-06 à 19:34

Bonjour,
voici l'énoncé d'un problème qui me pose quelques soucis...merci d'avance pour votre attention...

Soit E un ensemble quelconque non vide. Lorsque R_1 et R_2 sont 2 relations binaires quelconques,on définit l'intersection de R_1 et R_2;notée R_1\cup R_2, comme la relation binaire définie par : xR_1\cup R_2y \Longleftrightarrow xR_1y et xR_2y

Par ailleurs, on notera R_1\le R_2 si la condition suivante est réalisée: pour tout x,y\inE,xR_1y\Longrightarrow xR_2y.
On admettra que \le est une relation d'ordre sur l'ensemble des relations binaires.

Dans la premiére question,on réussit à démontrer que si R_1et R_2 sont 2 relations d'équivalence sur E alors R_1\cup R_2 est une relation d'équivalence et que R_1\cup R_2\le R_1

1)On suppose à partir de maintenant aue E est muni d'une relation d'ordre notée \le', ordre non nécessairement total. On dit aue la relation d'équivalence R est régulière,s'il existe un ensemble F ordonné et une fonction \phi croissante de E dans F telle que:
pour tout x,y\inE\Longleftrightarrow \phi(x)= \phi(y)
Montrer que l'intersection de deux relations d'équivalence régulières sur E est encore une relation régulière.

Merci d'avance.

Posté par
stokastikre : Relations d'équivalence sur un ensemble ordonné 16-09-06 à 13:03


C'est xRy \Longleftrightarrow \phi(x)=\phi(y) ?

Posté par
stokastikre : Relations d'équivalence sur un ensemble ordonné 16-09-06 à 13:11


Dans ce cas, si on a

xR_1y \Longleftrightarrow \phi_1(x)=\phi_1(y) \text{ avec } \phi_1:E\to F_1 et  xR_2y \Longleftrightarrow \phi_2(x)=\phi_2(y) \text{ avec } \phi_2:E\to F_2, on a alors :

xR_1\cup R_2 y \Longleftrightarrow \phi(x)=\phi(y) \text{ avec } \phi:E\to F_1\times F_2, \quad x \mapsto \big(\phi_1(x), \phi_2(x)\big)

Posté par
stokastikre : Relations d'équivalence sur un ensemble ordonné 16-09-06 à 13:12


... et il reste à ordonner F_1 \times F_2 pour que \phi soit croissante


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