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Niveau Licence Maths 1e ann
Relations d'ordre
Posté par jsvdb
Bonjour,
Je vous donne l'énoncé d'un exercice classique :
Soit (E, 
) un ensemble réticulé (i.e. toute partie à deux éléments admet une borne sup et une borne inf).
On pose pour tout x et y dans E :
x 
y = Sup (x, y)
x 
y = Inf (x, y)
On dit que E est distributif s'il satisfait aux conditions suivantes poour tout x, y et z dans E :
1) x (y z) = (x y) (x z)
2) x (y z) = (x y) (x z)
Par exemple, un ensemble totalement ordonné est distributif
On va admettre que 1) et 2) sont équivalentes et équivalentes à :
3) (x y) ( x z) ( y z) = (x y) ( x z) ( y z)
Montrer que ces trois conditions ci-dessus sont encore équivalentes à
4) z ( x y) x ( y z)
Indication : pour montrer que 4) 
2), considérer l'élément z ( x (y z)))
Je cale sur cette implication.
Si vous ou un membre de votre équipe peut m'éclairer je ne nierai pas avoir de la gratitude à son égard.
Bien à vous.
On peut pratiquer un changement de notation :
Noter x + y pour Inf(x, y)
Noter x.y pour sup(x, y)
On doit donc démontrer que :
L'indication devient : considérer l'élément
Quoiqu'il arrive, on a toujours :
donc
Par ailleurs :
par hypothèse. Donc :
. Or
par hypothèse.
CQFD.
Conclusion : avec (1)
et
Comme il y a un post qui est sorti 
Relation d'ordre et algèbre de Boole sur les treillis complémentés, donnons l'exercice suivant :
On dit qu'un ensemble ordonné réticulé E (ensemble réticulé = treillis ou réseau ordonné ou lattis) ayant un plus petit élément est relativement complémenté si pour tout couple d'éléments x,y de E tels que
, il existe un élément
tel que :
Un tel élément est appelé complément relatif de x par rapport à y.
a) Montrer que l'ensemble des sous-espaces vectoriels d'un EV de dimension
, ordonné par la relation d'inclusion, est réticulé et relativement complémenté, mais que pour deux éléments x et y de
tels que
, il existe en général plusieurs compléments relatifs distincts de x par rapport à y.
b) Si E est distributif et relativement complémenté, montrer que pour dans E, il existe un unique complément relatif de x par rapport à y.
On dit que E est un réseau booléien s'il est distributif, relativement complémenté et en outre admet un plus grand élément .
a) Soit V un ev de dimension supérieure ou égale à 2.
On note l'élément
Soient E et F deux sous-espaces vectoriels de V.
Si E = F alors convient puisque
et
Si , alors on sait qu'il existe un élément
tel que
.
Il suit que et
et
.
Faisons la démonstration de :
En effet, et
donc F est un majorant de E et x' dans
.
Soit maintenant F' un majorant de E et x' dans . Alors en particulier, comme F' est un sev de V, il contient
, c'est-à-dire F et donc
.
Par suite F est le plus petit majorant de E et x' dans . D'où le résultat.
Et de manière générale, on sait x' n'est pas unique.