Comme il y a un post qui est sorti Relation d'ordre et algèbre de Boole sur les treillis complémentés, donnons l'exercice suivant :
On dit qu'un ensemble ordonné réticulé E (ensemble réticulé = treillis ou réseau ordonné ou lattis) ayant un plus petit élément est relativement complémenté si pour tout couple d'éléments x,y de E tels que , il existe un élément tel que :
Un tel élément est appelé complément relatif de x par rapport à y.
a) Montrer que l'ensemble des sous-espaces vectoriels d'un EV de dimension , ordonné par la relation d'inclusion, est réticulé et relativement complémenté, mais que pour deux éléments x et y de tels que , il existe en général plusieurs compléments relatifs distincts de x par rapport à y.
b) Si E est distributif et relativement complémenté, montrer que pour dans E, il existe un unique complément relatif de x par rapport à y.
On dit que E est un réseau booléien s'il est distributif, relativement complémenté et en outre admet un plus grand élément .