Annuler
connectez vous
analyse complexe en post-bac
- Les nombres complexes - supérieur
- Nombres complexes : les classiques
- Ensemble et application Partie II
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
- Ensemble et application Partie I
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Représentation conforme
Posté par amateur75
Bonjour à tous,
j'ai plusieurs questions sur les représentations conformes.
Voici la première :
On sait que transforme
en le disque unité.
Je me suis donc demandé comment transformer en le disque unité.
je me suis dit que c'est la composée d'une rotation d'angle et de f, c'est à dire
, ai-je raison ou pas?
Bonsoir,
pour passer de à
il faut effectivement multiplier par
mais toi, au contraire, tu veux la rotation inverse ! Il faut donc multiplier par
Pour vérifier ton résultat : ici, z=1 était envoyé sur donc ça ne pouvait pas être bon...
En effet, cela donne donc finalement .
Y a-t-il une méthode générale pour trouver les applications conformes?
Merci encore.
Pas que je sache (mais j'ai pas vu grand chose sur le sujet...)
Quand on me pose ce genre de questions, je tâtonne avec des homographies... Quand on voit clairement que les angles ne sont pas conservés (genre "Envoyez sur
", où l'angle en 0 n'est pas conservé), il faut oublier les homographies, et prendre une application qui n'est pas conforme en un point (ici, le point où l'angle varie est 0, on prend
)
D'accord donc sur votre exemple il n'existe pas d'application conforme de sur
Mais si j'ai bien compris il en existe une de sur
en envoyant -1 en 0, 0 en 1 et 1 en l'infini?
Super je pense avoir compris.
Juste une dernière, si je veux une application conforme de sur le disque unité,
il faut que j'envoie quoi sur quoi?
j'aurais dit 0 sur -1, 1 sur -i mais après je ne sais pas, peut-être i sur 1.
Qu'en pensez vous?
Encore merci.
Bonjour à tous!
Ce n'est pas possible amateur75. En effet si tu envoie un quart de plan sur le disque, sachant que tu peux envoyer un demi plan sur le disque tu aurais en composant correctement une application conforme qui envoie le demi plan sur un quart de plan.
Pour ce qui est des homographies elles envoie un quasi cercle sur un quasi cercle.
Mais attention une représentation conforme n'est pas forcément une application conforme. En effet il existe une représentation conforme entre n'importe quel domaine simplement connexe différent de C et le disque unite.
Je crois que c'est le theoreme de représentation conforme où une représentation conforme est un homéomorphisme entre deux deux domaines de C qui est holomorphe.
Citation :
il n'existe pas d'application conforme de>0,Re(z)>0\})
sur >0\})
il n'existe pas d'application conforme de
Bien sûr que si ! L'application
Bonjour à vous deux,
@ Liberty2012 : comme Robot je ne vois pas la différence entre une représentation conforme et une application conforme.
@ Robot : Je vais donc essayer de montrer que est une représentation conforme de
sur
.
f est holomorphe car elle vérifie les équations de Cauchy - Riemann.
Et pour
Qu'en pensez vous Robot?
Encore merci pour votre aide.
J'en pense :
1°) Qu'il n'y vraiment pas besoin de Cauchy-Riemann pour dire que est holomorphe.
2°) Que tu ne montre pas que induit une bijection de
sur
.
En fait non, il faut montrer que l'autre racine carrée n'est pas dans le bon ensemble
(un et un seul antécédent)
ok. Avec ce que tu as dit tu réponds à la question.
Mais est-ce que tu saurais donner la bijection réciproque ?
On ne peut effectivement pas vraiment l'écrire comme ça.
Pour la racine carrée, on peut utiliser la détermination principale du logarithme et poser
ah oui c'est vrai merci!
Comment avez vous trouvé cette représentation conforme?
Savez vous où peut ont trouver des exercices ? (ils ne sont pas nombreux sur internet)
J'ai pensé aux nombres complexes sous formes exponentielle : argument entre 0 et . Comment doubler l'argument ? On prend le carré.
Pour la racine carrée, on prend une formule qui marche sur et on vérifie qu'elle marche sur le domaine de
qui nous intéresse.
Pour les exos, je ne sais pas...
F est une application conforme en z0 si c'est une application de classe C1 dont la dérivée de partie reele et imaginaire par rapport à x,y en z0 est non nulle et qui conserve les angles. Pas besoin qu'elle soit holomorphe. Si elle est holomorphe pour la dérivée cela signifie f'(z0) différent de 0. Pour que f soit dite conforme il est nécessaire qu'elle soit conforme en tout point.
z->z2 n'est pas conforme en zéro. Donc elle n'est pas conforme. Car elle n'est pas conforme en tout point.
Si f est en plus un diffeomormphisme alors f est une transformation conforme.
On appelle représentation conforme entre deux domaines un homéomorphisme holomorphe( et donc de réciproque holomorphe ) entre deux domaines (ouverts connexes) simplement connexes.
Donc une représentation conforme n'est pas forcément une transformation conforme.
Une application -linéaire du plan euclidien dans lui-même qui conserve les angles (orientés) est une similitude directe, correspondant à la multiplication par un nombre complexe non nul. Une transformation conforme d'un ouvert
de
sur un ouvert
de
est donc exactement une bijection holomorphe de
sur
.
L'application induit bien une transformation conforme de
sur
. Elle n'est pas conforme en
, mais
.
Liberty2012, tu devrais revoir tes définitions. Tu exiges à tort qu'une transformation conforme soit définie et conforme en tout point de . Ca ne va pas.
Ce n'est pas moi qui l'exige ce sont les professeurs d'université de l'université Pierre et Marie Curie qui demande cela. Je ne fais que reprendre ce qui m'a été enseigné. Après les définitions sont affaires de perspective.
Je ne peux point m'opposer aux professeurs qui enseigne l'analyse complexe en Master et licence. De l'autre côté je ne peux point m'opposer à vous car vous êtes sans aucun doute bien meilleur que moi en mathématiques. Mon problème est maintenant quel définition prendre lorsque je vais passer l'agrégation ...
Je demande à voir une citation exacte de la définition de transformation conforme dans ton cours. Tu as l'air d'oublier le domaine de définition de la transformation considérée.
Il est bien clair que n'est pas conforme en
. Mais elle est conforme sur tout ouvert ne contenant pas
.
Si à l'agreg tu dis qu'il n'y a pas de transformation conforme de sur
, tu seras mal.
Si vous me donnez votre adresse mail par message privé je peux vous envoyer des photos du cours. Je suis désolé je ne peux pas mettre cela sur le forum. À taper sans une bonne connaissance de latex c'est trop long pour moi. Et je ne peux pas mettre de photo depuis mon portable.
Dans mon cas (L3) ça a été traité très rapidement, "à la main", et effectivement dans la définition de conforme on a mis f holomorphe sur
Mais ça ne nous a pas empêché ensuite de parler de transformation conforme de sur
(ouverts). Je ne vois d'ailleurs pas quelle raison on pourrait opposer à utiliser cette terminologie...
Il y a une adresse mail sur mon profil. Il me semble tout de même qu'écrire une définition comme celle-ci ne demande pas un tel effort ...
@Liberty2012 : J'ai lu la définition 15 de ton poly. Elle correspond exactement à ce que j'ai dit plus haut, et on a bien selon cette définition que réalise une transformation conforme de
sur
. Il n'y a donc aucun problème. Relis la définition, et réfléchis.
Depuis hier je n'ai pas fait attention aux ensembles pardon... Encore une fois merci robot! Comme toujours présent pour me remettre dans le droit chemin 
Désolé je ne lisais pas correctement ce que vous écriviez. Mais au moins grâce à cela j'ai bien revue les définitions.
Faut que j'apprenne à être plus attentif.