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Résoudre dans C ...

Posté par
DarkinGoD 06-10-07 à 16:04

Bonjour,

je dois donc résoudre dans :
(z+1)^{2n+1}-(z-1)^{2n+1}=0
Et en déduire que S=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{tan^2(\frac{k\pi}{2n+1})}

J'ai fait un premier essai avec la formule du binome de Newton, mon équation devient donc :
\Bigsum_{k=0}^{2n+1} \(2n+1\\k\) z^k1^{n-k} - \Bigsum_{k=0}^{2n+1} \(2n+1\\k\) z^k(-1)^{n-k}=0

Puis je pose :
N=E[\frac{2n+1}{2}] pour n'avoir que les nombres pairs.

On a donc :
\Bigsum_{k=0}^N \(2n+1\\2k\) z^k1^{n-k} - \Bigsum_{k=0}^N \(2n+1\\2k\) z^k(-1)^{n-k}=0 ,les pairs s'annulent.

Et il reste donc les impaires :
\Bigsum_{k=0}^N \(2n+1\\2k+1\) z^k1^{n-k} - \Bigsum_{k=0}^N \(2n+1\\2k+1\) z^k(-1)^{n-k}=0

Soit :
2\Bigsum_{k=0}^N \(2n+1\\2k+1\) z^k1^{n-k}=0

La je reste bloqué, je part donc dans une autre direction.
(z+1)^{2n+1}-(z-1)^{2n+1}=0
(z+1)^{2n+1}=(z-1)^{2n+1}
Comme 1 n'est pas solution de l'équation :
\frac{(z+1)^{2n+1}}{(z-1)^{2n+1}}=1
\(\frac{z+1}{z-1}\)^{2n+1}=1
Donc ma fraction est une racine n-ième de l'unité.
Soit \frac{z+1}{z-1}=e^{i\frac{2k\pi}{n}}

En arrangeant le tout je trouve
z=\frac{cos(\frac{k\pi}{n})}{sin(\frac{k\pi}{n})}

Bref, je suis donc bien loin du S que je suis sensé déduire ..., si quelqu'un à le courage de me lire =), merci d'avance.

édit Océane : niveau modifié

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Résoudre dans C ... 06-10-07 à 16:16

Bonjour,

Si cela peut aider :
https://www.ilemaths.net/sujet-polynomes-a-coefficients-dans-c-130121.html
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=263539&t=263452#reply_263539

Nicolas

Posté par
DarkinGoDre : Résoudre dans C ... 06-10-07 à 17:27

Non malheureusement, je continue à tourner en rond. par contre je crois que ma racine n-ième est fausse.

C'est celle-ci la bonne :
\frac{z+1}{z-1}=e^{\frac{2k\pi}{2n+1}}
Donc je trouve au final :
z=\frac{cos(\frac{2k\pi}{2n+1})}{isin(\frac{2k\pi}{2n+1})}
Soit :
z=\frac{1}{itan(\frac{2k\pi}{2n+1})}

Je reste donc bloqué sur ce point là mais je suis quand même plus proche de S maintenant ^^

Posté par
DarkinGoDre : Résoudre dans C ... 06-10-07 à 21:04

UP, je viens de remarquer que je me suis trompé, j'ai posté le sujet dans Terminale ... que suis-je bête, un modérateur pourrait le replacer dans Bac+ ?

Désolé.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Résoudre dans C ... 07-10-07 à 05:32

(1) Comme 1 n'est pas solution, l'équation de départ est équivalente à :
3$\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^{2n+1}=1
Donc 3$\frac{z+1}{z-1}=e^{i\frac{2k\pi}{2n+1}} avec 3$1\le k\le 2n
Ce qui correspond aux solutions 3$z=\frac{1}{i\tan\frac{k\pi}{2n+1}} avec 3$1\le k\le 2n
(Et non pas 3$2k\pi au numérateur comme tu le dis.)

(2) Posons 3$P(z)=(z+1)^{2n+1}-(z-1)^{2n+1}
En développant et en simplifiant, il vient :
3$P(z)=\Bigsum_{0\le k\le 2n+1\\k\mathrm{\ pair}}2{2n+1\choose k}z^k=2\Bigsum_{0\le k\le n}{2n+1\choose 2k}z^{2k}
C'est-à-dire :
3$P(z)=Q(z^2) où 3$Q(X)=2\Bigsum_{0\le k\le n}{2n+1\choose 2k}X^{k}


(3) Comme 3$\left(\frac{1}{i\tan\frac{k\pi}{2n+1}}\right)_{1\le k\le 2n} sont les racines de P, 3$\left(\frac{-1}{\tan^2\frac{k\pi}{2n+1}}\right)_{1\le k\le 2n} sont racines de Q.
Or, parmi elles, certaines sont en double. Après ménage :
3$\left(\frac{-1}{\tan^2\frac{k\pi}{2n+1}}\right)_{1\le k\le n} sont les racines de Q.

(4) On écrit que la somme des racines de Q est égal à "-b/a" :
3$\Bigsum_{1\le k\le n}\frac{-1}{\tan^2\frac{k\pi}{2n+1}}=-\frac{{2n+1\choose 2n-2}}{{2n+1\choose 2n}}

Donc :
3$\fbox{\Bigsum_{1\le k\le n}\frac{1}{\tan^2\frac{k\pi}{2n+1}}=\frac{n(2n-1)}{3}}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
DarkinGoDre : Résoudre dans C ... 07-10-07 à 11:32

Ok, je suis d'accord jusqu'au 3). Mais après je ne vois pas du tout comment passer à la somme. Je sais que la somme des racines n-ième est nulle ni d'ou vient ce "-b/a".
En tout cas merci de m'avoir lu, corrigé et aidé.

Un question à part : vous dormez quand ? ^^

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Résoudre dans C ... 07-10-07 à 12:34

Je suis de l'équipe de nuit !

La somme des racines de l'équation axn + bxn-1 + cxn-2 + ... = 0 est -b/a

Nicolas

Posté par
DarkinGoDre : Résoudre dans C ... 07-10-07 à 16:23

Ok, merci pour toute tes réponses, mais comme je n'ai pas encore vu, cette somme de racine en cours et que l'éxo me demande de m'arrêter juste avant je n'irai pas plus loin.

Je risque de repasser ^^

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Résoudre dans C ... 07-10-07 à 16:26

Avant, c'était au programme de Terminale pour le seconde degré.
La somme des solutions de l'équation ax²+bx+c = 0 est -b/a

Pour un polynôme quelconque ax^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + ... = 0, ce n'est pas difficile à montrer. Et cela doit être connu en Prépas.

Je t'en prie.

Nicolas

Posté par
DarkinGoDre : Résoudre dans C ... 07-10-07 à 16:30

D'accord, je prend note, je pense aussi que on risque de le voir dans quelques temps. Merci.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Résoudre dans C ... 07-10-07 à 16:32

Je t'en prie.


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