Annuler
connectez vous
logique en post-bac
- Description de mathématique formelle-termes et relations
- Théorèmes
- Théories logiques
- Ensemble et application Partie II
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre LogiqueTopics traitant de logique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
schéma d'axiome de remplacemant
Posté par 
amethyste
amethysteBonjour et merci d'avance pour toute réponse
...mais avant de poser ma question
À propos du schéma d'axiome de remplacement je cite le wiki dans ce qu'il dit au début
Citation :
Le schéma d'axiomes de remplacement, ou schéma d'axiomes de substitution est un schéma d'axiomes de la théorie des ensembles introduit en 1922 indépendamment par Abraham Adolf Fraenkel et Thoralf Skolem. Il assure l'existence d'ensembles qui ne pouvaient être obtenus dans la théorie des ensembles de Ernst Zermelo, et offre ainsi un cadre axiomatique plus fidèle à la théorie des ensembles de Georg Cantor.
Le schéma d'axiomes de remplacement, ou schéma d'axiomes de substitution est un schéma d'axiomes de la théorie des ensembles introduit en 1922 indépendamment par Abraham Adolf Fraenkel et Thoralf Skolem. Il assure l'existence d'ensembles qui ne pouvaient être obtenus dans la théorie des ensembles de Ernst Zermelo, et offre ainsi un cadre axiomatique plus fidèle à la théorie des ensembles de Georg Cantor.
Question:
En quoi l'existence de ce schéma d'axiome est obligatoire pour construire un ensemble ayant pour cardinal la puissance du continu ?
Puisque par l'axiome de l'infini on stipule qu'il existe l'ensemble des entiers naturels
(ENTRE LONGUE PARENTHESE : ... dont les éléments de
Le premier étant : le schéma de compréhension non restreint par lequel on arrive à construire l'ensemble vide et par lequel on défini l'inclusion et la complémentarité .
Le second étant celui qui stipule que si A et B sont des ensembles alors il existe un nouvel ensemble qui contiens comme uniques éléments les ensembles A et B
Le troisième étant l'axiome de l'union FIN DE LA PARENTHESE)
Bref, il y a quelque chose qui m'échappe là (merci pour toute réponse)
Citation :
En quoi l'existence de ce schéma d'axiome est obligatoire pour construire un ensemble ayant pour cardinal la puissance du continu ?
En quoi l'existence de ce schéma d'axiome est obligatoire pour construire un ensemble ayant pour cardinal la puissance du continu ?
En rien. Et alors ?
Sans le schéma d'axiomes de remplacement (mais avec le schéma d'axiomes de compréhension), je ne sais pas s'il y a pas nécessairement un cardinal en bijection avec . Pour bien ordonner un ensemble, on peut utiliser une définition par induction transfinie; procédé dont la validité est normalement démontrée en utilisant un axiome de remplacement.
Peut-être même que sans remplacement, peut être le seul cardinal infini; je ne sais pas.
Construire des ordinaux limites est une paire de manches.
Construire un ensemble qui a la puissance du continu ( ou
) en est une autre.
C'est sans doute un distinguo nécessaire pour répondre à Amethyste.