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Niveau maths spé
série complexe
Posté par vector
Bonsoir,
Dans le cadre d'un exercice sur le calcul des séries des cos(nx)/n et sin(nx)/n (x dans R et n dans N), on me demande de passer par l'étude de la série des eikπ/k
On étudie dans un premier cas x=pi
Et on me demande d'étudier la convergence de la série et de calculer sa somme. Mais je bloque déjà car ce n'est pas une somme géométrique et je n'ai pas trop d'idee..
Je voudrais de l'aide s'il vous plaît ?
Pour montrer que la série de terme général eikx/k ( k > 0) converge si x 
2
tu montres que la suite n 
1n eikx/k est de Cauchy) donc converge .
Pour ça tu utilises ce qu'on appelle la " transformation d'Abel " qui est utilisable puisque
..la suite k 1/k est décroissante > 0 et
..la suite n 1n eikx est bornée .
Il y a même convergence uniforme sur [a , 2 - a] si 0 < a < 2
Bonsoir,
Désolé je n'ai pas pu répondre..
Luzak nous n'avons pas encore commencé l'analyse complexe donc ce ne serait pas légitime mais merci.
Carpediem oui merci je sais que je peux appliquer les propriétés des exposants mais dans quel but? Je ne vois pas trop l'idee à moins qu'il s'agirait là aussi de dériver?
Et merci beaucoup etniopal je pense que c'est ce vers quoi m'amène l'exercice car le professeur nous a parlé de la transformation d'Abel en donnant cet exercice ! Merci à vous trois je reviendrai lorsque j'aurai fini.
Il n'y a pas d'analyse complexe dans ce que j'ai écrit, juste dériver une fonction à valeurs complexes d'une variable réelle.
De toute façon la convergence par la méthode d'Abel ne te donnera pas la somme de la série.
Ah d'accord
Et en fait mes camarades m'ont dit qu'on avait pas le droit d'utiliser cette fameuse transformation d'abel car hors programme et donc qu'il va falloir faire sans malheureusement...
Vous voulez donc que je calcule Sn'(pi)? Mais justement c'est deux questions plus loin qu'on me demande de montrer que pour tout x, Sn'(x)=...
Je suis toujours bloqué c'est agaçant
Désolé du double post,
j'en suis là:
Sn(pi)=
J'ai un problème d'indice mais je sais comment faire la suite. Pouvez vous m'aider pour le problème d'indice?
Un mélange incompréhensible !
Si tu veux montrer la convergence de la série il suffit d'appliquer la condition suffisante des séries alternées, que tu dois connaître.
Si tu ne la connais pas il faut revenir aux bases et montrer que les sommes partielles d'ordre pair et impair forment des suites adjacentes.
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Comment passer du cas au cas général sans la transformation d'Abel ?
Tu peux utiliser l'astuce que j'ai donnée récemment 
Nature de la série (messages du 17-09 23:20 et 18-09 23:19)
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Le calcul de la somme est une autre histoire.
On peut expliciter la dérivée de la somme partielle mais, pour expliciter une primitive de cette dérivée ???
En fait j'avais déjà montré la convergence de la série mais je cherche maintenant à calculer sa somme en me ramenant à somme de deux intégrales dont je pourrais majorer l'une et dire que lim Sn(pi) en l'infini est -ln(2)