Bonjour,

Dans une définition le "si" veut tout le temps dire "si, et seulement si". Sinon ce n'est tout simplement pas une définition (i.e. établir une correspondance entre un nouveau mot et un terme déjà existant). Certains préfèrent écrire "si, et seulement si" pour éviter toute confusion.

Bonjour,

Il y a toujours une petite ambiguïté avec l'usage du si ou du ssi dans une définition. Voici les principaux arguments en défaveur de chaque option.

Option 1 : "Une partie est dite fermée si son complémentaire est ouvert"

Formulé différement : Si le complémentaire d'une partie est ouvert, alors elle est dite fermée. Avoir un complémentaire ouvert semble donc suffisant, mais pas nécessaire au fait d'être fermé. On pourrait imaginer qu'il existe des parties fermées qui n'ont pas de complémentaire ouvert.

Option 2 : "Une partie est dite fermée ssi son complémentaire est ouvert"

Donc si le complémentaire d'une partie est ouvert, alors elle est dite fermée, très bien. Réciproquement, si elle est fermée, alors le complémentaire est ouvert. Pardon, mais cette dernière phrase n'a pas vraiment de sens. "Si elle est fermée", pourrait-on me dire ce que signifie "fermée", au juste ? Techniquement, on ne peut pas encore, c'est justement l'objet de la définition. On ne peut pas définir un objet en supposant sa définition déjà acquise (sauf cas particulier d'une définition récursive, mais c'est un autre sujet).


En fait, dans le langage courant, le "si" a plutôt valeur de "ssi". Le problème est qu'en maths, on fait la distinction entre le "si" et le "ssi". Il y a donc un "si" courant, et un "si" mathématique, et le "si" courant correspond plutôt au "ssi" mathématique. Une possibilité pour parer à cette ambiguïté serait de n'utiliser ni l'un, ni l'autre, par exemple :

Option 3 : "Une partie est dite fermée uniquement si son complémentaire est ouvert".

Option 4 : "Les parties de complémentaire ouvert, et elles seules, sont dites fermées".

Mais on préfère faciliter la lecture et laisser l'ambiguïté. Je pense que tous les mathématiciens francophones sont sensibilisés à ce "si" de la définition et savent qu'il n'a pas valeur de condition suffisante seulement. Charge à l'auteur, en revanche, d'être clair lorsqu'il s'agit d'une définition.

Bonjour,

WilliamM007 dans "Une partie est dite fermée ssi son complémentaire est ouvert" on comprend qu'étant donnée une partie ; si est fermée, alors est ouvert, et réciproquement, si est ouvert, alors est fermée. Je ne vois pas d'ambiguïté :/

Pour ce que ça vaut, pour introduire une définition je préfère les formules qui se passent des "si", "ssi" et "lorsque" :
"On appelle/désigne/définit X comme Y";
"Un X est Y".
Ici :
"On appelle partie fermée tout complémentaire d'un ouvert";
"Une partie fermée est le complémentaire d'un ouvert".

De toute façon un petit "Définition n :" devant ne fait pas de mal.

Pour le coup, je préfère la formulation "On appelle partie fermée tout complémentaire d'un ouvert". Cela signifie que si je prends une partie , si est un fermé, alors il existe un ouvert dont est le complémentaire, ainsi est ouvert. Réciproquement, si maintenant je prends une partie ouverte, alors désigne une partie fermée. C'est ça ?

Si je comprends bien, Schtromphmol, tu préfères un "Un ... est..." ou "On appelle ... tout ..." qui correspond en quelque sorte à une "égalité définitionnelle" (ou équivalence logique) qui "par définition" entraîne une équivalence propositionnelle (ici entre "être un fermé" et "être le complémentaire d'un ouvert") ?

Bonjour à tous
c'est le moment de philosopher un peu (ça nous changera) :

Termes et relations