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Somme avec complexes

Posté par
Thais13 04-01-18 à 17:13

Bonjour,

Je cherche à calculer la somme suivante (plus précisément déterminer la partie réelle et imaginaire) :
T(x) = \sum_{k=0}^{n}{\frac{e^{ikx}}{cos^{k}(x)}}

Voici mes calculs :

T(x) = \sum_{k=0}^{n}{\frac{(cos(x)+isin(x))^{k}}{cos^{k}(x)}}

T(x) = \sum_{k=0}^{n}{(1+i\frac{sin(x)}{cos(x)})^{k}}

On applique la formule de la somme géométrique :
T(x) = \frac{1-(1+i\frac{sin(x)}{cos(x)})^{n+1}}{i\frac{sin(x)}{cos(x)}}

T(x) = -\frac{i cos(x)}{sin(x)}-\frac{1+i\frac{sin(x)}{cos(x)}^{n+1}}{i\frac{sin(x)}{cos(x)}}

On remarque l'expression du binôme de Newton :
T(x) = -\frac{i cos(x)}{sin(x)}-\frac{\sum_{k=0}^{n+1}{\bigl(\begin{smallmatrix} n+1\\ k \end{smallmatrix}\bigr)(i\frac{sin(x)}{cos(x)})^{k}}}{i\frac{sin(x)}{cos(x)}}

Mais à partir de là je suis bloquée... Mais je ne prend peut-être pas le bon chemin pour calculer cette somme.... Pourrait-on me donner des indications par rapport à la démarche à suivre ou m'indiquer si j'ai fait des erreurs ?

Merci !

Posté par
lakere : Somme avec complexes 04-01-18 à 17:21

Bonjour,

\dfrac{e^{ikx}}{\cos^kx}=\left(\dfrac{e^{ix}}{\cos\,x}\right)^k

Une somme de termes de suite géométrique

Posté par
lakere : Somme avec complexes 04-01-18 à 17:44

Citation :
T(x) = \sum_{k=0}^{n}{\frac{(cos(x)+isin(x))^{k}}{cos^{k}(x)}}

T(x) = \sum_{k=0}^{n}{(1+i\frac{sin(x)}{cos(x)})^{k}}


Le passage de la première à la deuxième ligne ne va pas

Posté par
jandri Correcteurre : Somme avec complexes 04-01-18 à 18:42

Bonjour,

la deuxième ligne est juste mais c'est dans la troisième qu'il y a une faute de signe.

De plus il faut laisser e^{ix} au numérateur pour calculer la puissance (n+1)^e et pas utiliser la formule du binôme.

Posté par
lakere : Somme avec complexes 04-01-18 à 19:14

Au temps pour moi, c'est vrai.

Posté par
Thais13re : Somme avec complexes 04-01-18 à 19:36

Merci pour vos réponse ! J'ai suivi vos conseils et voici mes calculs :

T(x) = \frac{\frac{e^{i(n+1)x}}{cos^{n+1}(x)}-1}{\frac{e^{ix}}{cos(x)}}

T(x) = \frac{e^{inx}}{cos^{n}(x)}-\frac{cos(x)}{e^{ix}}

T(x) = \frac{cos(nx) + isin(nx)}{cos^{n}(x)}-cos(x)e^{-ix}

T(x)= \frac{cos(nx)}{cos^{n}(x)}-cos^{2}(x) + i(\frac{sin(nx)}{cos^{n}(x)}+sin(x)cos(x))

Posté par
lakere : Somme avec complexes 04-01-18 à 20:17

Citation :
T(x) = \frac{\frac{e^{i(n+1)x}}{cos^{n+1}(x)}-1}{\frac{e^{ix}}{cos(x)}}


Je crois que tu as oublié un -1 au dénominateur

Posté par
Thais13re : Somme avec complexes 04-01-18 à 21:29

Oh oui effectivement !

Alors : T(x) = \frac{\frac{e^{i(n+1)x}}{cos^{n+1}(x)}-1}{\frac{e^{ix}}{cos(x)}-1} = (\frac{e^{i(n+1)x}}{cos^{n+1}(x)}-1)(-i\frac{cos(x)}{sin(x)})=-i\frac{e^{i(n+1)x}}{cos^{n}(x)sin(x)}+i\frac{cos(x)}{sin(x)}

T(x) = \frac{1}{cos^{n}(x)}+i(\frac{cos(x)}{sin(x)}-\frac{cos((n+1)x)}{cos^{n}(x)sin(x)})

Posté par
lakere : Somme avec complexes 05-01-18 à 00:24

Une erreur dans la parie réelle à la dernière ligne:

   T(x)=\dfrac{\sin\,(n+1)x}{\sin\,x\,\cos^nx}+i\,\dfrac{\cos^{n+1}x-\cos\,(n+1)x}{\sin\,x\,\cos^nx}

Tout ceci avec les conditions sur x pour qu'on puisse l'écrire...

Posté par
Thais13re : Somme avec complexes 05-01-18 à 14:24

Ah oui mince, en le refaisant je tombe sur le même résultat ! Merci beaucoup pour votre aide


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