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somme complexe

Posté par
homomorhisme2 10-11-21 à 21:49

bonjour les ami, j'espère de vous retrouver en bonne santé et je sollicite votre aide pour résoudre cet exercice
soit \ n\in  \mathbb{N^*}\ on\ pose \ w =e^{\frac{2iPi}{n} } une racine nieme de l'unité

soit\ G_n=\sum_{k=0}^{n-1}{w^{k^2}}
montrer que pour toutj\in\mathbb{N^*}soit\ G_n=\sum_{k=0}^{n-1}{w^{(j+k)^2}}
on porra utiliser la divsion eucidienne de j par n
et merci d avance

Posté par
GBZMre : somme complexe 10-11-21 à 22:01

Bonsoir,

Tu peux commencer par vérifier que \omega^{(k+qn)^2}=\omega^{k^2}.

Posté par
homomorhisme2re : somme complexe 11-11-21 à 14:58

C est évident il suffit de remarquer que
\ w ^{k+nq}=w^{k}w^{nq}}
Et quew\ ^{nq}}=1

Posté par
GBZMre : somme complexe 11-11-21 à 15:39

Tu as oublié les carrés !

Posté par
homomorhisme2re : somme complexe 11-11-21 à 16:54

Oui
[w^{(k+qn)^2}=(w^{k+qn})^{k+qn}=(w^{k})^{k+qn}=(w^{k+qn})^k=(w^{k})^k=w^{k^2}

Posté par
homomorhisme2re : somme complexe 11-11-21 à 17:48

en suite je suppose que j=qn+b \ avec\ 0\leq b\ <\ n
donc G_n=\sum_{k=0}^{n-1}{w^{(k+j)^2}}=\sum_{k=0}^{n-1}{w^{(k+qn+b)^2}}=\sum_{k=0}^{n-1}{w^{(k+b)^2}}

Posté par
GBZMre : somme complexe 11-11-21 à 18:15

Ça ne t'avance pas énormément ...

Mais que peux tu dire des restes dans la division par n des k+j quand k parcourt l'ensemble \{0,1,\ldots,n-1\} ?

Posté par
homomorhisme2re : somme complexe 11-11-21 à 19:27

C est vraiment difficile à rediger

Posté par
homomorhisme2re : somme complexe 11-11-21 à 19:32

Je sais que 0\leq r\leq n-1
Mais est-ce qu il parcourt toutes les valeurs de 0 à n

Posté par
GBZMre : somme complexe 11-11-21 à 19:45

Certainement pas de 0 à n, ça ferait n+1 valeurs.

Posté par
homomorhisme2re : somme complexe 11-11-21 à 20:02

Pardon je voulais écrire de 0 à n-1

Posté par
homomorhisme2re : somme complexe 12-11-21 à 09:23

Est-ce que quelqu'un a une idée

Posté par
GBZMre : somme complexe 12-11-21 à 09:30

GBZM @ 11-11-2021 à 18:15
Que peux tu dire des restes dans la division par [tex

n[/tex] des k+j quand k parcourt l'ensemble \{0,1,\ldots,n-1\} ?

Posté par
GBZMre : somme complexe 12-11-21 à 09:31

GBZM @ 11-11-2021 à 18:15

Que peux tu dire des restes dans la division par n des k+j quand k parcourt l'ensemble \{0,1,\ldots,n-1\} ?

Posté par
homomorhisme2re : somme complexe 12-11-21 à 09:34

r varie de 0 à n-1
Mais est ce qu il prend toutes les valeurs dans cet intervalle

Posté par
GBZMre : somme complexe 12-11-21 à 09:39

Commence par prendre un exemple ... ça te débloquera peut-être

Posté par
GBZMre : somme complexe 12-11-21 à 11:58

Par exemple n=12 et k=31.

Posté par
GBZMre : somme complexe 12-11-21 à 12:02

Pardon, j=31 (et k varie de 0 à 11).

Posté par
homomorhisme2re : somme complexe 12-11-21 à 14:00

j'ai trouvé que r croit de 7 à 11 puis de 0 à 11

Posté par
homomorhisme2re : somme complexe 12-11-21 à 14:01

pardon
'ai trouvé que r croit de 7 à 11 puis de 0 à 6
cad que r parcourt 0à n-1

Posté par
homomorhisme2re : somme complexe 12-11-21 à 22:14

voila comment j'ai rédigé la solution ;
supposons que \\ j=nq+r avec 0\leq r<n donc
G_n=\sum_{k=0}^{n-1}{w^{(k+j)^2}}=\sum_{k=0}^{n-1}{w^{(k+qn+r)^2}}=\sum_{k=0}^{n-1}{w^{(k+r)^2}}
cad
G_n=\sum_{k=0}^{n-1-r}{w^{(k+r)^2}}+\sum_{k=n-r}^{n-1}{w^{(k+r)^2}}
donc G_n=\sum_{k=r}^{n-1}{w^{(k)^2}}+\sum_{k=0}^{r-1}{w^{(k+n)^2}=\sum_{k=r}^{n-1}{w^{(k)^2}}+\sum_{k=0}^{r-1}{w^{(k)^2
=\sum_{k=0}^{n-1}{w^{(k)^2

Posté par
GBZMre : somme complexe 12-11-21 à 22:55

OK

Posté par
homomorhisme2re : somme complexe 12-11-21 à 23:09

Merci de votre soutien

Posté par
carpediemre : somme complexe 13-11-21 à 08:32

salut

une remarque de raisonnement : on veut montrer G = Truc

on ne part donc pas de G = truc pour transformer truc et arriver à la fin à G = autre truc

il faut partir de truc et par une suite d'égalités arriver à G ...

Posté par
homomorhisme2re : somme complexe 13-11-21 à 12:11

Bonne remarque
Il suffit de enlever au départ G_n=


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