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Somme complexe

Posté par
tanb56 25-10-22 à 18:11

Bonsoir, je suis en blocage total sur les sommes suivantes, si quelqu'un est disponible m'aider, ce serait super sympa !

\sum_{k=0}^{n-1}{exp\frac{2i\pi k}{n}}
et
\sum_{k=0}^{n-1}{exp\frac{i\pi k}{n}}


Puis je dois en déduire :
\sum_{k=0}^{n-1}{cos(\frac{\pi*k}{n})}
et
\sum_{k=0}^{n-1}{sin(\frac{\pi*k}{n})}

Et enfin en déduire :
\sum_{z\in Un}|z-1|

(je ne sais pas si j'ai le droit de demander plusieurs choses à la fois, mais les questions sont dans le même exercice donc voila..)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme complexe 25-10-22 à 18:27

Bonjour,
Tu as le droit de poster plusieurs questions d'un même exercice.
Mais... il faut écrire tout l'énoncé à partir du premier mot, pas raconter ce qui s'y passe.
Qu'est-il demandé sur ces sommes ? De les transformer sans doute, mais sous quelle forme ?
Et c'est quoi ce un qui apparaît à la fin ?
Il faut aussi que tu montres ce que tu as cherché, même si ça n'aboutit pas.

Posté par
tanb56re : Somme complexe 25-10-22 à 18:40

Ah oui pardon j'ai oublié de préciser qu'il faut les calculer !
puis déduire le résultat des sommes suivantes en résolvant la précédente.
J'ai effectivement omis de dire ce qu'était le Un. Il s'agit des solutions de n pour l'équation z^n = 1, qui a pour solution n racines qui forment l'ensemble Un. (Un = exp(2k/n avec k {0, ... , n-1}
Pour mes recherches, et bien, je ne sais pas du tout par où commencer, j'ai beaucoup de mal avec les sommes pour tout vous dire

Posté par
tanb56re : Somme complexe 25-10-22 à 18:44

Je penserai bien à la résolution d'une somme géométrique pour les deux premières, mais je ne sais pas si c'est une bonne idée

Posté par
Ulmierere : Somme complexe 25-10-22 à 18:45

\exp(itk) = \exp(it)^k pout tout réel t et tout entier k

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme complexe 25-10-22 à 18:47

Tu continues à raconter l'énoncé sans le recopier intégralement.

Bon, pour la première somme, commence par écrire les premiers termes en espérant qu'une lumière va apparaître.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme complexe 25-10-22 à 18:48

tanb56 @ 25-10-2022 à 18:44

Je penserai bien à la résolution d'une somme géométrique pour les deux premières, mais je ne sais pas si c'est une bonne idée
Mais si !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme complexe 25-10-22 à 18:49

Je ne vais plus être disponible.
Tu peux poursuivre Ulmiere.

Posté par
tanb56re : Somme complexe 25-10-22 à 18:55

Si je résous tel d'une somme géométrique, de la forme :
\sum_{k=0}^{n}{q^{k} = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}}

Je dois prendre q = exp ici  ?

Posté par
Ulmierere : Somme complexe 25-10-22 à 19:03

q est la raison. Ta formule est valable seulement si la raison est différente de 1 et u souhaites l'appliquer avec n-1 à la place de n.


Citation :
Je dois prendre q = exp ici  ?

n'a aucun sens. q est un nombre complexe, alors que exp est une fonction de \C\to\C

Posté par
tanb56re : Somme complexe 25-10-22 à 19:07

Autrement dit, si j'utilise :

\sum_{k=0}^{n-1} z^{k} = 0{}

Comme z est un nombre complexe, cela peut m'aider ?

Posté par
Ulmierere : Somme complexe 25-10-22 à 19:11

Je ne sais pas d'où sort ce z ni ce =0, mais ça m'a l'air très faux.

Pour l'instant, on en est seulement à calculer \sum_{k=0}^{n-1} e^{i\omega k} lorsque \omega\in\R\setminus 2\pi\Z explicitement en fonction de n et de \omega.

Tu le fais ce calcul ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme complexe 25-10-22 à 20:47

Je me permets de réitérer mon conseil :

Citation :
pour la première somme, commence par écrire les premiers termes en espérant qu'une lumière va apparaître.
Et j'écris la formule d'Ulmiere d'une autre manière :
eitk = (eit)k

Posté par
tanb56re : Somme complexe 25-10-22 à 20:49

Pour le calcul de \sum_{k=0}^{n-1}{exp(\frac{2i\pi k }n){}{}}

Je trouve :
\sum_{k=0}^{n-1}{(exp(\frac{2i\pi }n){})^k{}}

Donc à partir de la formule des sommes géométriques, je trouve :

\frac{(exp(\frac{2i\pi }n{}))^{n}-1}{exp(\frac{2i\pi }n){}-1}

et que e^{2i\pi } = 1


On a : \frac{0}{e^\frac{2i\pi }{n}-1} = 0

Je ne sais pas si c'est très clair, mais je trouve bien 0

PS : La formule \sum_{k=0}^{n-1}z^{k}=0{} est un théorème. Il s'agit de la somme des puissances d'une racine de l'unité. Peut être pas utilisable dans ce cas précis, mais pourquoi dites-vous que c'est faux ?

Posté par
Ulmierere : Somme complexe 26-10-22 à 00:22

Parce que tu ne nous avais pas dit ce que tu appelais z.
D'autre part, ta formule est fausse si n = 1, ce serait dire que 1=0.


Maintenant fais le deuxième calcul avec les exp(i.pi/n)

Posté par
tanb56re : Somme complexe 26-10-22 à 11:34

Pour \sum_{k=0}^{n-1}e^\frac{i\pi k}{n}{}{}

On a :
\frac{e^{i\pi }-1}{e^{\frac{i\pi }n{}}-1}

Ce qui est égal à :
\frac{-1-1}{e^{\frac{i\pi }{n}}-1}

Maintenant dois-je factoriser par la demi somme des arguments ? Car pour ce calcul, je trouve -2 en factorisant

Posté par
Ulmierere : Somme complexe 26-10-22 à 12:28

-2 est le numérateur de ta fraction et le dénominateur n'est pas égal à 1 donc ton résultat est forcément faux.
Multiplie en haut et en bas par e^{-i\pi/n}-1 et mets le résultat final sous forme algébrique a + ib

Posté par
tanb56re : Somme complexe 26-10-22 à 16:07

J'ai fait un peu différemment..

On dispose des formules de la factorisation par la demi somme des arguments, qui est : e^{ix}-e^{iy} = 2ie^{i\frac{x+y}{2}}sin(\frac{x-y}{2})
En prenant x = \frac{\pi }{n}
et comme le -1 au dénominateur peut être écrit sous la forme :
e^{i0}
On peut utiliser y = 0
On remplace alors et on a :
e^{i\frac{\pi }{n}}-e^{i0} = 2*ie^i{\frac{\pi +0}{n*2}}sin(\frac{\frac{\pi }{n}-0}{2})

Ce qui est égal à :
ie^{\frac{i\pi }{n}}sin(\frac{\pi }{2n})
On a donc :
\frac{-2}{2ie^{\frac{i\pi }{2n}}*sin(\frac{\pi }{2n})}
Ce qui est égal à :
\frac{-1}{ie^{\frac{i\pi }{2n}}*sin(\frac{\pi }{2n})}
Ou encore :
=\frac{ie^{\frac{-i\pi }{2n}}}{sin(\frac{\pi }{2n})}

On en vient alors à dire que :

\sum_{k=0}^{n-1}{e^{\frac{ik\pi }{n}}} = (\sum_{k=0}^{n-1}{cos(\frac{k\pi }{n}}))+i(\sum_{k=0}^{n-1}{sin(\frac{k\pi }{n}}))

Maintenant, disons que le membre de gauche serait la partie réelle, et le membre de droite la partie imaginaire, on a :
\frac{i(cos(\frac{-\pi }{n})+isin(\frac{-\pi }{2n}))}{sin(\frac{\pi }{2n})}
= \frac{icos(\frac{\pi }{2n})-sin(\frac{-\pi }{2n})}{sin(\frac{\pi }{2n})}

=\frac{icos(\frac{-\pi }{2n})+1}{sin(\frac{\pi }{2n})}

= 1+i\frac{cos(\frac{-\pi }{2n})}{sin(\frac{\pi }{2n})}

Je pense que ceci est la forme algébrique..

Posté par
Ulmierere : Somme complexe 26-10-22 à 19:08

Il y a des coquilles et des erreurs grossières de calcul ici et là. Encore une fois, il faut dire explicitement que n\neq 1, sinon la formule est fausse. Une fois ceci fait, ma méthode est meilleure parce qu'elle ne fait pas intervenir de i au numérateur et au dénominateur. Le dénominateur sera toujours d'office un réel


\dfrac{-2}{e^{i\theta}-1} = -\dfrac{e^{-i\theta}-1}{2\sin^2(\theta/2)} = \dfrac{1-\cos(\theta)}{2\sin^2(\theta/2)} + i\dfrac{\sin\theta}{2\sin^2(\theta/2)} = 1 + i \dfrac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}

J'utilise le fait que |e^{ia}-e^{ib}|^2 = 2 - 2Re(e^{i(b-a)}) = 2(1-\cos((a-b))) = 4\sin^2((a-b)/2) = (2\sin((a-b)/2))^2 et la formule sin(2t) = 2sin(t)cos(t) avec 2t = 2*theta/2 = theta

Posté par
tanb56re : Somme complexe 26-10-22 à 20:16

En effet, votre méthode est meilleure ! Je dois donc juste enlever le signe négatif du pi au numérateur dans mon expression de la forme algébrique, mais sinon le résultat est correct ?

Posté par
Ulmierere : Somme complexe 26-10-22 à 21:03

Ca m'a l'air correct oui, mais je te rappelle que cos est une fonction paire

Vérifions nos résulats:
On fait le changement de variable j = n-k là dedans:
\sum_{k=1}^{n-1} \cos(k\pi/n) = \sum_{j=1}^{n-1} \cos((1-j/n)\pi) = -\sum_{j=1}^{n-1} \cos(j\pi/n)

On retrouve la valeur de 1 en rajoutant le terme égal à 1 pour k = 0. Ca colle

Posté par
tanb56re : Somme complexe 26-10-22 à 21:10

Nickel ! Maintenant je vais m'attaquer à la somme des cos(k*pi/n) et je reviens vers vous !

Posté par
tanb56re : Somme complexe 27-10-22 à 16:10

Alors pour la somme des cos(k*pi/n), j'ai pensé à prendre la partie réelle de e^{\frac{2ik\pi }{n}}
J'ai donc :
\sum_{k=0}^{n-1}{Re(e^{\frac{2i\pi k}{n}})}
Donc :
Re(\sum_{k=0}^{n-1}{e^{\frac{2i\pi k}{n}}})
Malheureusement, je n'arrive pas à trouver de suite à mon raisonnement..

Posté par
tanb56re : Somme complexe 27-10-22 à 16:41

Pour ce qui est de \sum_{k=0}^{n-1}{sin(\frac{k\pi }{n}}), j'ai bien trouvé la réponse ! Je vous enverrai mon calcul, qui, je l'espère, est juste !

Posté par
tanb56re : Somme complexe 27-10-22 à 17:28

Alors, pour ce qui est de \sum_{k=0}^{n-1}{sin(\frac{k\pi }{n}})

J'ai, à l'inverse du cos, pris la partie imaginaire, on a donc :
Im(\sum_{k=0}^{n-1}{e^{\frac{k\pi i}{n}}})
Ce qui est égal à prendre la partie imaginaire de :
Im(\frac{1-e^{i\pi }}{1-e^{\frac{i\pi }{n}}})
On a donc :
Im(\frac{2}{1-e^{\frac{i\pi }{n}}}*\frac{1-e^{\frac{-i\pi }{n}}}{1-e^{\frac{-i\pi }{n}}})
=Im(\frac{2-2e^{\frac{-i\pi }{n}}}{1-e^{\frac{i\pi }{n}}-e^{\frac{-i\pi }{n}}+1})
=Im(\frac{2-2e^{\frac{-i\pi }{n}}}{2-(e^{\frac{i\pi }{n}}+e^{\frac{-i\pi }{n}})})
==Im(\frac{2-2cos(\frac{\pi }{n})+2isin(\frac{\pi }{n})}{2-2cos(\frac{\pi }{n})})
=\frac{sin(\frac{\pi }{n})}{1-cos(\frac{\pi }{n})}
=\frac{sin(2(\frac{\pi }{2n}))}{1-cos(2(\frac{\pi }{2n}))}
=\frac{2sin(\frac{\pi }{2n})cos(\frac{\pi }{2n})}{1-(1-2sin^{2}(\frac{\pi }{2n})}
=\frac{2sin(\frac{\pi}{2n})cos(\frac{\pi}{2n})}{2sin^{2}(\frac{\pi}{2n})}
Ce qui, au final, est égal à :
==\frac{cos(\frac{\pi}{2n})}{sin(\frac{\pi}{2n})}

Il y avait peut être plus rapide en prenant 2 fois la partie imaginaire pour se retrouver avec du 2*\frac{2sin(\frac{\pi}{2n})cos(\frac{\pi}{2n})}{4sin^{2}(\frac{\pi}{2n})}, puis en simplifiant par 2 on retrouve le résultat mais j'ai fait autrement pour le coup

Posté par
tanb56re : Somme complexe 27-10-22 à 19:40

Je viens de trouver la solution à la somme du cosinus, c'était juste une simple équation..
Mais le vrai problème est la dernière question, je ne comprends pas le sens ..

Posté par
Ulmierere : Somme complexe 27-10-22 à 20:19

Pourquoi tu refais encore le même calcul ?
On a déjà calculé \sum_{k=0}^{n-1} e^{ik\theta_n} sous forme algébrique et trouvé 1 + i\dfrac{\cos(\theta_n/2)}{\sin(\theta_n/2)} donc la partie réelle est 1 et la partie imaginaire est cos(theta_n/2)/sin(theta_n/2) et tu as directement la  valeur des sommes en cos et en sin !


Pour la dernière question, écris z sous forme exponentielle et calcule explicitement |z-1| en fonction de l'argument \theta de z et tu devrais retomber sur une somme qu'on a déjà calculée

Posté par
tanb56re : Somme complexe 27-10-22 à 22:30

Effectivement j'ai fait un calcul inutile ..

Si je comprends bien ce que vous me dites, je dois poser z = e^{\frac{i\pi}{n}}  et prendre comme argument \pi pour ensuite calculer |z-1| ?

Posté par
tanb56re : Somme complexe 27-10-22 à 23:25

On ne pourrait pas, plus simplement faire :

\sum_{k=0}^{n-1}{(e^{\frac{ik\pi}{n}}-e^{\frac{-ik\pi}{n}}})=2*Im(\sum_{k=0}^{n-1}{e^{\frac{ik\pi}{n}}})

Et ensuite prendre la partie imaginaire de \sum_{k=0}^{n-1}{e^{\frac{ik\pi}{n}}}, pour ensuite la doubler ?


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