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Somme des inverses des coefficients binomiaux

Posté par
Ramanujan 12-09-18 à 04:29

Bonjour,

Soit (u_n) la suite définie pour tout n \in \N par :

u_n = \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{\binom{n}{k}}

Démontrer que cette suite converge et préciser sa limite.

Je vois pas comment partir.

Posté par
toureissare : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 08:04

Bonjour Ramanujan,

Appliquer le théorème célèbre de la convergence :

Toute suite croissante majorée est convergente et toute suite décroissante minorée est convergente.

Chercher la monotonie de de la suite .

Si elle  est croissante   tu cherche un majorant ;
Si elle est décroissante tu cherche un minorant.


• Monotonie

u_{n+1}-u_n= \sum_{k=0}^{n}{(\frac{1}{(_{k}^{n})}-\frac{1}{(_{k}^{n+1})})-1

Et

w_{n,k}=(\frac{1}{(_{k}^{n})}-\frac{1}{(_{k}^{n+1})})\geq 0

Calculer la somme  des w_{n,k} pour n=3,n=4 et remarquer qu'elle est plus grand que 1 à partir de n=4.

pour chercher un majorant

Il faut remarquer que
u_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{(_k^n)}}+1=2+\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{(_k^n)}}

Posté par
Razesre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 09:20

Bonjour,

Voir aussi le lien Sommess

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 11:31

@Toureissa

Je trouve :

u_{n+1} - u_n = 1 +  \sum_{k=0}^n  ( \dfrac{1}{\binom{n+1}{k}} - \dfrac{1}{\binom{n}{k}} )

Je dois calculer les différence pour n=0  à n=4 ?

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 11:46

Pour n=3 je trouve : u_{n+1}- u_n = - \dfrac{2}{6} <0

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 12:06

J'ai un indice dans mon livre car on avait montré dans un chapitre précédent que la fonction :

f(k) = \binom{n}{k} définie sur [|0,n|] est croissance sur [|0, E(\dfrac{n+1}{2}|]

Si j'écris :  u_n = 1 + \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\binom{n}{k}}

Avec : \forall k \in [|1, E(\dfrac{n+1}{2}|] :  \binom{n}{k} \geq \binom{n}{1}=n

Mais il faudrait montrer que j'ai cette inégalité pour k allant de  [|1,n |] comment faire ?

Posté par
luzakre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 13:04

Comme u_3=u_4=\dfrac83 ton \dfrac{-2}6 (sic) me fait peur !

J'ai des doutes sur la croissance de la suite.
Je pense plutôt à une décroissance à partir de u_4.

D'après le lien donné par Razes, s'il y a une limite elle vaut 2.

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 13:25

D'accord Luzak j'ai du faire une erreur de calcul.

En fait je pensais à un encadrement et utiliser le théorème des gendarmes :

0 \leq u_n=2+\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{(_k^n)}}

\forall k \in [|1,n-1|] je voulais poser : f_n (k) = \binom{n}{k} et voir si cette fonction est croissante ou décroissante sur [|1,n-1|] afin de majorer la somme.

Posté par
luzakre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 13:43

Tu es sur la bonne voie mais il faut faire un cran de plus :
u_n=2+\dfrac2n+\sum_{2\leqslant k\leqslant n-2}\dfrac{k!(n-k)!}{n!} et essayer de majorer la somme (majore chaque terme par \dfrac2{n(n-1)} et la somme par   \dfrac{2(n-3)}{n(n-1)})

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 13:52

Ok je vais suivre votre méthode mais une question :

Comment savez vous que il faut un "cran" de plus et faire apparaitre la somme de 2 à n-2 et non de 1 à n-1 ?

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 14:04

Pour la majoration je trouve pas la même chose que vous :

2 \leq k \leq n-2 donc k ! \leq (n-2) !
2-n \leq -k \leq -2 donc (n-k)! \leq (n-2)!

Alors : k! (n-k)! \leq (n-2) ! \times (n-2) !

D'où : \dfrac{k! (n-k)!}{n!} \leq \dfrac{ (n-2) !}{n!} \times (n-2) !

Soit : \dfrac{k! (n-k)!}{n!} \leq \dfrac{ (n-2) !}{n(n-1)}  

Posté par
Razesre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 15:55

Bonjour,

Quand je vois ta majoration de k! (n-k)! je me suis dit que c'est trop large.

Prenons x=\frac kn, c'est quoi le majorant de x (1-x) pour x\in [0,1] en déduire le majorant de ton expression.

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 17:00

Prenons : n \geq 3

Après une rapide étude de la fonction f(x) = x(1-x) = x - x^2 je trouve le maximum de la fonction donc un majorant :

\forall x \in [0,1] : x(1-x) \leq \dfrac{1}{4}

Si : 2 \leq k \leq n-2 alors comme n est non nul puisque supérieur à 3 : 0 \leq \dfrac{2}{n} \leq \dfrac{k}{n} \leq 1-\dfrac{2}{n} \leq 1

On a donc : \dfrac{k}{n} (1 - \dfrac{k}{n}) \leq \dfrac{1}{4}

Mais ici je bloque un peu car cette inégalité je vois pas comment l'appliquer et à qui car j'ai des factorielles ...

Posté par
luzakre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 17:01

@Ramanujan :
Tu as dit toi-même que les coefficients vont en croissant jusque n/2 donc si 2\leqslant k\leqslant n-2 tu as certainement \binom nk\geqslant\binom n2=\binom n{n-2}=\dfrac{n(n-1)}2.

Tu aurais pu écrire les coefficients pour une ligne du triangle de Pascal et voir tout seul une bonne minoration !

@Razes : il ne s'agit pas de majorer les coefficients binomiaux  mais de les minorer, on fait la somme des inverses.

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 17:08

@Luzak

Ceci est l'inverse d'un coefficient binomial : dfrac{k! (n-k)!}{n!} donc le raisonnement est juste.

Posté par
luzakre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 17:21

Où ai-je dit le contraire ?
Si tu as un résultat en majorant k(n-k) fais-le !
Mais si c'est pour trouver \Bigl(\dfrac{n^2}4\Bigr)^{n-2}\dfrac1{n!} je ne vois pas d'issue.

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 17:25

Je trouve :

k(n-k) \leq \dfrac{n^2}{4}

Après je sais pas appliquer les factoriels aux inégalités

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 17:43

@Luzak

Le problème étant que j'ai toujours pas compris ceci :

\forall k \in [|2,n|] :  \binom{n}{k} \geq  \binom{n}{2}

Les coefficients du binôme vont en croissant pour k allant de 0 à E(\dfrac{n+1}{2}) d'où l'inégalité ci dessus pour  k allant de 0 à E(\dfrac{n+1}{2}).
Par symétrie des coefficients binomiaux on a encore cette inégalité pour k variant de 0 à n-2.

Si l'égalité est vrai sur [|2,E(\dfrac{n+1}{2})|] comment montrer qu'elle l'est sur : [|2,n-2|]

On sait que :  \binom nk = \binom n{n-k}.

Donc si : 2 \leq k \leq E(\dfrac{n+1}{2})  

Alors : n - E(\dfrac{n+1}{2}) \leq n-k \leq n-2

Ce n - E(\dfrac{n+1}{2}) me bloque il faut montrer qu'il est plus grand que 2 ou plus petit que E(\dfrac{n+1}{2}) je ne vois pas comment faire.

Posté par
carpediemre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 20:27

salut

pour simplifier je note b(n, k) le coef bin ... avec 0 =< k =< n

b(n, 0) = b(n, n) = 1

et pour 0 < k < n : b(n, k) > n/2 <=> 1/b(n, k) < 2/n

donc u(n) =< 2 + (n - 2)2/n


bon c'est insuffisant  ... donc reprenons :


b(n, 0) = b(n, n) = 1

b(n, 1) = b(n, n-1) = n

et 1 < k < n - 1 => b(n, k) >= n(n - 1)/2 <=> 1/b(n, k) =< 2/n(n - 1)

et c'est fini ...

Posté par
luzakre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 23:09

Oui carpediem c'est fini (encore qu'il faille tenir compte des n-3 inégalités de ce genre) mais IL refuse d'utiliser 2\leqslant k\leqslant n-2\implies\binom nk\geqslant\binom n2 qu'il ne sait pas démontrer.

En fait il n'arrive pas à voir que 2\leqslant k\leqslant\dfrac n2\implies2\geqslant(n-k)\geqslant\dfrac n2 car il a admis (je ne crois pas qu'il arrive à le démontrer) que 0\leqslant p\leqslant q\leqslant\dfrac n2\implies\binom np\leqslant\binom nq

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 23:09

@Carpediem

Difficilement lisible avec votre syntaxe
C'est quoi ces inférieurs stricts ? Je comprends pas grand chose.

Posté par
carpediemre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 23:29

ben tu y mets des inégalités larges là où il faut ...

et c'est on ne peut plus limpide ...


luzak : oui bien sur !! on somme convenable (avec le bon nombre de termes) pour obtenir (une majoration de) u_n

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 12-09-18 à 23:54

@Luzak

Il sort d'où votre \dfrac{n}{2} ?

Je trouve que :
f_n(k) = \binom nk   est croissante sur [|0, E(\dfrac{n+1}{2})|]

En effet : \dfrac{f_n(k+1}{f_n(k)} = \dfrac{n-k}{k+1}

Ce quotient est supérieur ou égal à 1 pour : k \leq \dfrac{n-1}{2}

La fonction est croissante pour tous les entiers compris entre 0 et \dfrac{n-1}{2} et on a donc :  f_n (k) \leq f_n (k+1)

Elle est croissante en particulier pour : k = E (\dfrac{n-1}{2})

Ainsi  :  f_n (E (\dfrac{n-1}{2})) \leq f_n (E (\dfrac{n-1}{2}) +1)

En distinguant les cas pairs et impairs j'ai montré que :

E(\dfrac{n-1}{2}) + 1 = E(\dfrac{n+1}{2})

Alors :  f_n (E (\dfrac{n-1}{2})) \leq f_n (E (\dfrac{n+1}{2}) )

Conclusion : f_n est bien croissante sur [|0, E(\dfrac{n+1}{2})|] donc à fortiori sur [|2, E(\dfrac{n+1}{2})|]

Par ailleurs : \binom nk =  \binom {n}{n-k}

Posons : k' = n-k on a alors : f_n (k) = f_n (k')

On a : 2 \leq k \leq  E(\dfrac{n+1}{2})

Soit -E(\dfrac{n+1}{2}) \leq -k \leq  -2

Finalement : n-E(\dfrac{n+1}{2}) \leq k' \leq  n-2

Et là je bloque pour montrer que f_n est croissante sur [|E(\dfrac{n+1}{2}),n-2|]

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 01:15

Y a un problème que je ne comprends pas : je trouve  que f_n est donc décroissante sur [|E(\dfrac{(n+1)}{2}),n|]

Soit : k_1 < k_2  donc :  n-k_1 < n-k_2

Je prends : E(\dfrac{n+1}{2}) \leq k_1 \leq n et E(\dfrac{n+1}{2}) \leq k_2 \leq n

Donc -n \leq -k_1 \leq  -E(\dfrac{n+1}{2})

Donc :   0 \leq n-k_1 \leq  n-E(\dfrac{n+1}{2})

Si n est pair :  n - E(\dfrac{(n+1)}{2}) = E(\dfrac{(n+1)}{2}) = \dfrac{n}{2}

Si n impair : E(\dfrac{(n+1)}{2}) = \dfrac{(n+1)}{2} >  n-E( \dfrac{(n+1)}{2}) = \dfrac{(n-1)}{2}

Donc : n - E(\dfrac{(n+1)}{2}) \leq E(\dfrac{(n+1)}{2})

Finalement : [|0,n-E(\dfrac{(n+1)}{2})|] \subset [|0,E(\dfrac{(n+1)}{2})|]

Donc : n-k_1 < n-k_2 \Longrightarrow  f(n-k_1) < f(n-k_2) car f est croissante sur [|0,E(\dfrac{(n+1)}{2})|]

Soit : f(k_1) < f(k_2) avec k_1 > k_2

f_n est donc décroissante sur [|E(\dfrac{(n+1)}{2}),n|]

Posté par
luzakre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 08:09

Tout ça pour "découvrir" qu'une famille symétrique par rapport à \dfrac n2 varie en sens contraire sur les entiers séparés par \dfrac n2 .

Tu as pris un nombre invraisemblable de lignes, compliquées par une partie entière inutile, pour écrire ce que je t'avais déjà dit :

Si 0\leqslant p\leqslant q\leqslant\dfrac n2\implies \binom np\leqslant\binom nq alors

\dfrac n2\leqslant p\leqslant q\leqslant n\implies0\leqslant n- q\leqslant n-p\leqslant\dfrac n2\implies \binom nq=\binom n{n-q}\leqslant\binom n{n-p}=\binom np
...........................................
Et en plus je ne vois pas ta démonstration de 0\leqslant p\leqslant q\leqslant\dfrac n2\implies \binom np\leqslant\binom nq : tu apprendrais plus en le faisant que de recopier ad nauseum des résultats lus ici ou là.
..........................................
Et maintenant que tu as satisfait ta curiosité concernant un résultat évident, fais les majorations utiles et conclus pour la limite de ta suite.

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 13:14

Ok Luzak j'abandonne les parties entières et je suis votre méthode.

Mais je vois pas comment démontrer : 0\leqslant p\leqslant q\leqslant\dfrac n2\implies \binom np\leqslant\binom nq

Posté par
lafol Moderateurre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 15:01

Bonjour
je croyais que tu savais montrer la croissance des coeffs binomiaux sur la première moitié de chaque ligne ?

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 16:27

Luzak a dit que ma démo avec la partie entière est inutilement compliquée, je connais que cette façon de faire.

Récurrence ?

Posté par
luzakre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 16:57

Ce n'est pas ta démonstration pour k\leqslant \dfrac n2 que je critiquais (on peut la simplifier mais ce n'est pas un problème).
Ce que trouve compliqué c'est de prendre 11 lignes pour écrire ce qui tient en une seule ligne (comme écrit à 08:09).

Maintenant je voudrais que tu termines le calcul de la limite de la suite initiale.

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 17:10

Mais j'ai envie de comprendre comment obtenir ça avant de calculer la limite :

0\leqslant p\leqslant q\leqslant\dfrac n2\implies \binom np\leqslant\binom nq

Si n pair :
n=2p
E(\dfrac{n+1}{2}) =E(\dfrac{2p+1}{2}) =E(p+ \dfrac{1}{2})= E(p) = p= \dfrac{n}{2}

Si n impair :
n=2p+1
E(\dfrac{n+1}{2}) =E(\dfrac{2p+2}{2}) =E(p+1)= p+1 = 1+ \dfrac{n-1}{2} = \dfrac{n+1}{2}

Ca marche bien car : [|0,E(\dfrac{n+1}{2}|] \subset  [|0,\dfrac{n}{2}|]

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 17:14

Erreur de frappe !

C'est : [|0,\dfrac{n}{2}|]  \subset [|0,E(\dfrac{n+1}{2})|]  

Posté par
Ramanujanre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 17:30

Voici mon calcul de la limite :

\forall k \in [|2,n-2|] : \binom{n}{k} \geq \binom{n}{2}

Or : \binom{n}{2} = \dfrac{n!}{2! (n-2) ! } = \dfrac{n(n-1)}{2}

D'où : \forall k \in [|2,n-2|] : \binom{n}{k} \geq \dfrac{n(n-1)}{2}

Par sommation :

0 \leq \sum_{k=2}^{n-2} \dfrac{1}{\binom{n}{k} } \leq \sum_{k=2}^{n-2}  \dfrac{2}{n(n-1)}

Soit : 0 \leq \sum_{k=2}^{n-2} \dfrac{1}{\binom{n}{k} } \leq  \dfrac{2(n-3)}{n(n-1)}

D'après le théorème des gendarmes :

\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=2}^{n-2} \dfrac{1}{\binom{n}{k} }  =0

Enfin :

\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=2}^{n-2} \dfrac{1}{\binom{n}{k} } + 2(1+\dfrac{1}{n})  =  \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n =2

Posté par
luzakre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 17:47

parfait !

Posté par
carpediemre : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 19:35

une remarque : pour montrer la croissance d'une suite il suffit de compare deux termes consécutifs (c'est la richesse du cas discret ...)

donc il suffit de le faire pour 0 p q = p + 1 n/2

...


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