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Somme modulo 3

Posté par
Mathslycee 19-09-15 à 15:40

Bonjour,

Voici le problème :
Je dois calculer : A_n=\sum_{0\leq 3k \leq n} \left (\begin{array}{ccc}n \\ 3k\end{array}\right ) , B_n=\sum_{0\leq 3k+1 \leq n} \left (\begin{array}{ccc}n \\ 3k+1\end{array}\right ) , C_n=\sum_{0\leq 3k+2 \leq n} \left (\begin{array}{ccc}n \\ 3k+2\end{array}\right )
Pour cela on me demande de simplifier U_n=A_n+B_n+C_n et je remarque que : U_n=\sum_{k=0}^{n}\left (\begin{array}{ccc}n \\ k\end{array}\right )=2^n
Cependant, on me demande ensuite de travailler avec j en calculant j^3,j^{3k+1} et j^{3k+2}
Je trouve respectivement : 1 , j et j^2
Et à partir de la on me demande : Simplifier V_n=A_n+jB_n+j^2C_n et je ne vois pas comment faire j'ai juste remarqué que V_n=j^3A_n+j^{3k+1}B_n+j^{3k+2}C_n mais je n'arrive pas à conclure cette question.
Si vous pouviez me donner des pistes !

Posté par
luzakre : Somme modulo 3 19-09-15 à 15:56

Bonjour !
V_n se calcule simplement en utilisant la formule du binome (en remplaçant là où il le faut j par j^{3k+1}) etc...

Je te conseille aussi de calculer W_n=A_n+j^2B_n+jC_n.

Posté par
etniopalre : Somme modulo 3 19-09-15 à 15:56

Binôme de Newton .

Posté par
Mathslyceere : Somme modulo 3 19-09-15 à 16:34

Ah bah oui évidemment... mon problème est que j'avais déjà remplacé les j par j^{3k+1} et du coup je pensais ne pas pouvoir les rentrer dans la somme alors qu'en rentrant j dans la somme avant ça va tout seul.
luzak tu as anticipé la question suivante
Merci !

Posté par
Mathslyceere : Somme modulo 3 19-09-15 à 18:46

Euh j'ai un problème pour simplifier W_n

Posté par
luzakre : Somme modulo 3 19-09-15 à 21:09

W_n s'obtient à partir de V_n en remplaçant j par j^2 !...

Posté par
Mathslyceere : Somme modulo 3 19-09-15 à 22:21

Mais Ca utilise le fait que j et j^2 sont conjugués non ? Car dans ce cas l'exercice précise qu'il faut utiliser une méthode analogue à la précédente puis retrouver le résultat en remarquant que j et j^2 sont conjugués

Posté par
luzakre : Somme modulo 3 20-09-15 à 12:43

Non tu n'utilises pas la conjugaison, simplement que (j^2)^2=j.


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