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Niveau Maths sup
Sous ensemble défini par un prédicat
Posté par 
Ramanujan
RamanujanBonsoir,
Je ne comprends pas le sens des résultats suivants :
Si est un ensemble et
une partie de
, alors
est un prédicat de la variable
défini sur
.
Réciproquement, on admet que si est un prédicat dépendant de
et défini sur
alors il existe une unique partie
de
telle que :
On note alors
C'est du chinois 
Bonjour Ramanujan.
Faut pas se cailler le lait pour si peu : prenons un exemple.
et
Donc ici
Et on a bien
Dans l'assertion de gauche tu dis que pour tout élément x de E, il y a équivalence entre " x est élément de F" et " x vérifie la propriété P".
Par conséquent, F est l'ensemble des éléments de E qui vérifient P, ce qui est l'assertion de droite.
Merci.
Vous auriez pas un autre exemple simple avec un prédicat où j'essaierais de déterminer la partie
?
Soit et
d'affixe
Posons : d'affixe
et
d'affixe
. On a :
est l'ensemble des points à égale distance de
et
soit la médiatrice du segment
Mais comment déterminer l'équation de droite de cette médiatrice ?
Bonjour
quel intérêt d'en déterminer une équation ?
de toutes façons, P(z) N'EST PAS un ensemble !
c'est F = {z / P(z)} qui correspond géométriquement à la médiatrice de [AB]
tu peux te contenter de dire F = {z / |z-1|=|z-i|}, ça décrit l'ensemble
(PS : je n'ai pas écrit partout les "appartient/appartenant à C", par pure flemme 
)
Les points d'affixe
et
d'affixe
appartiennent à la droite.
Mais comment trouver une équation de droite avec des nombres complexes et des affixes ?
Je te rappelle qu'une équation (cartésienne) de droite dans le plan est une relation entre les abscisses et ordonnées des points qui appartiennent à cette droite.
Ici, la droite médiatrice que l'on cherche a pour équation y = x dans le plan classique. Tu peux retrouver cette équation à partir de P(z) en remplaçant simplement z par x + iy.
Ce sont donc tous les points de la forme (x,x) pour x réel.
Si tu transformes cette équation dans le plan complexe tu obtiens l'équation Im(z) = Re(z)
On peut aussi dire que l'ensemble cherché est .
Tu n'as plus qu'à faire ton choix.
D'accord merci.
Soit . On a :
Mais je ne vois pas trop comment expliciter l'ensemble des nombres complexes qui vérifient cette équation.