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Suite de nombres complexes
Bonjour,
J'ai un dm à rendre en maths expertes mais je rencontre quelques difficultés à partir de la 3ème question. Pourriez-vous m'aider svp ?
On définit la suite de nombres complexes (Zn) de la manière suivante : Z0=1 et pour tout entier naturel n, Z(n+1)=1/3zn+2/3 i .
Pour tout entier naturel n, on pose Un=Zn−i.
On note An le point d'affixe Zn , Bn le point d'affixe Un et on note C le point d'affixe i.
1. Exprimer Un+1en fonction de Un, pour tout entier naturel n.
2. Démontrer que,pour tout entier naturel n, Un=(1/3)n(1−i)
3.a. Pour tout entier naturel n, calculer, en fonction de n, le module de Un
3.b. Démontrer que: lim quand n tend vers +infini |Zn−i|=0
3.c. Quelle interprétation géométrique peut-on donner de ce résultat ?
J'ai réussi à faire la question 1, j'ai trouvé Un+1=1/3Un
La question 2 j'ai utilisé la récurrence
Cependant aux questions 3 je ne suis pas sure.
En effet à la 3)a j'ai trouvé |Un|=racine2*racine(1/3)2n
Ensuite à la 3b si j'utilise ce que j'ai trouvé à la 3a je trouve aussi une limite de zéro.
Et donc en 3c) je dirais une asymptote horizontale d'équation y=0
Suis-je sur la bonne voie ?
Merci d'avance
Bonsoir
3a)
module d'un produit = produit des modules
le module d'un réel n'est rien d'autre que sa valeur absolue
tu rectifies ?
Je viens de casser en 2 U
n
J'ai donc
|Un|=|(1/3)n|*|(1-i)|
Mais le module de 1-i ça fait zéro donc tout me donne zéro alors que quand j'ai laissé tout dans le même paquet je n'ai pas ça
revoir ton interprétation de 3c)
un module qui tend vers 0
un module = distance ...(entre quoi et quoi ? )
j'ai essayé de simplifier |Un| jai alors
racine2*(1/3)2(n-1)
euh...moi j'ai
et si
et un module de complexe tend vers 0, que fait le complexe ?
si, il existe, mais il se rapproche de plus en plus de 0
(ne pas confondre "ne pas exister" et "valoir 0")
qu'est ce que cela veut dire pour la suite des points ?
Bonjour,
Je crois que ce qui est attendu, plutôt que de plus ou moins parler d'une suite de complexes qui tend vers 0, c'est d'une distance dont la limite est 0.
Pour ça, il aurait fallu que Nunusse réponde à cette question :
un module = distance ...(entre quoi et quoi ? )
On peut alors interpréter "La distance CAn a pour limite 0" par
" Le point An se rapproche du point C " ou " Le point An a pour limite le point C ".
OBn = |Un| et la suite (Un) converge vers 0.
La distance OBn a donc pour limite 0.
On peut interpréter par "le point Bn se rapproche du point O".
L'affixe du point An est Zn, celle du point C est i.
CAn = |Zn-i| = |Un|.
4.a. Soit n un entier naturel, déterminer un argument de Un.
Je connais la méthode mais le puissance n me gêne, puis-je lui donner une valeur ? (1 par exemple)
J'ai développé Un pour pouvoir distinguer les parties réelle et imaginaire
j'ai Re(Un)=(1/3)n
et Im(n)=-(1/3)n
Je sais que je dois utiliser les formule avec cos et sin.
ahh désolée c'est bon en posant la formule on peut simplifier et les (1/3)n s'éliminent.
J'ai donc arg(Un)=
/4
Maintenant je dois démontrer que, lorsque n décrit l'ensemble des entiers naturels, les point Bn sont alignés.
Cependant je n'ai pas d'idée. Je serais tenté d'utiliser la colinéarité des vecteurs mais cela ne me mènerait à rien
je m'étais absentée
houlla...18h40 est faux
regarde un peu cette fiche 
Les nombres complexes
visualise un peu le positionnement de Un dans un repère, tu as immédiatement un de ses arguments
c'est que nous n'avons pas encore vu les calculs d'arguments, notre professeur nous a dit que nous le ferons dans le dernier chapitre des nombres complexes
certes, mais alors ?
4.a. Soit n un entier naturel, déterminer un argument de Un.
Je connais la méthode mais le puissance n me gêne, puis-je lui donner une valeur ? (1 par exemple)
regarde la fiche que je t'ai indiquée
si tu places Un dans un repère orthonormé du plan, tu vas pouvoir lire sur ton dessin un argument
ben voilà
donc un argument de Un vaut -pi/4 (car (1/3)^n est un réel positif,) donc ton point est sur la même demi-droite
OK ?
ouii merci beaucoup. Il me reste une dernière question avec laquelle j'ai des difficultés et je vous laisse tranquille
4.c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, le point An appartient à la droite d'équation réduite :
y=−x+1 .
tous les points Bn sont sur cette demi-droite, es-tu d'accord
mais
An a pour affixe Zn=Un+i
donc "en gros" tes points An se déduisent des points Bn par une translation de vecteur (0,1) car tu ajoutes i à chaque affixe
Ok ?
donc comme tes points Bn sont alignés , eh bien les points translatés qui sont les An le sont également
ça va ?
4.c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, le point An appartient à la droite d'équation réduite :
y=−x+1 .
il suffit de vérifier que les coordonnées de An vérifient l'équation qu'on te donne (puisqu'on te la donne)
donc j'exprime Zn en fonction de n
j'aurais alors les coordonnées de An mais comment je peux vérifier si An appartient à la droite ?
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