Déjà, utilise le bouton X₂ pour faire les indices. Tu y verras plus clair.

Question 1 ; ok.
Question 2 : oui et non.
Les formules sont bonnes, sauf que les indices sont faux.  On a une relation entre U₁ et U₀, ou entre U_n+1 et U_n,  mais pas entre U_n et U₀ comme ce que tu as écrit.

Question 3a :
On part de V_n=U_n-1000 , on a aussi V_n+1=U_n+1-1000
Et on sait remplacer U_n+1 par une formule en fonction de U_n
Et on va en déduire une formule qui donne V_n+1 en fonction de V_n,  et normalement, on devrait reconnaître une formule d'une suite géométrique.
Question 3b :
Comme tu n'as pas fait la 3a, tu ne peux pas t'en sortir. La 3b dépend de la 3a.
Tu peux d'ailleurs vérifier que ta formule est fausse.
Si on applique ta formule pour calculer U₁, on trouve ... différent de ce que tu as trouvé dans la 1ere question.

3-a) V_n = U_n - 1000
V_n+1 = U_n+1 - 1000
      = 0,9U_n + 100 - 1000
      = 0,9U_n - 900

Là, tu as une formule entre V_n+1 et U_n
Il nous faut une formule entre V_n+1 et V_n

) Vn = Un - 1000
Vn+1 = Un+1 - 1000
      = 0,9Un + 100 - 1000
      = 0,9Un - 900
      = 0,9 ( Un - 1000)
       = 0,9 Vn

Oui ...
Je rappelle la question :
Prouver que la suite est géométrique et donner la raison et V₀
Là tu fais des calculs, tu ne fais pas des maths.
Les maths, c'est des calculs, et c'est surtout des phrases.

La suite est géométrique de raison 0,9 et de premier terme
v0 =Un - 1000
mais Un = Vn - 1000
Vn est un inconnu donc je n'arrive pas à calculer v0

Bonjour
Vn = Un - 1000

si tu remplaces n par 0 dans le membre de gauche, tu dois le faire dans toute ton expression, donc également dans le membre de droite

Vn = Un - 1000
V0 = U0 - 1000
V0 = 2500 - 1000 = 1500

eh oui, tout simplement

tu sais pour une suite (u_n), le n c'est un exercice à trous !

D'accord merci.

3-c)un = - 0,1 u0 + 100
q < 0
-0,1  < 0 la suite est décroissante

exprime v_n déjà grâce à la question précédente ! c'est écrit 3b)
faut pas sauter des morceaux !

Désolée j'avais pas remarqué :

3b) Vn = V0 * q^n
                = 1500 * 0,1^n

quelle raison as-tu trouvée pour la suite (v_n) ? tu as bien dû l'écrire dans une conclusion précédente ...
une bonne habitude est d'encadrer tes résultats de chaque question sur ton papier ...

Vn+1 = 0,9Vn

Donc la raison 0,9
Vn = V0 * q^n
Vn = 1 500 * 0,9^n

que tu dois encadrer

et les questions se suivent ...
tu peux en déduire u_n

Je n'ai pas compris ce que je dois encadrer.

Un+1 = 0,9Un + 100

Un = 2500 * 0,9^n ?

il s'agit de Un = U0 * q^n

ha bon ...à quel moment as-tu démontré que la suite (u_n) était géométrique ? dans quelle question ?

Non je n'ai pas démontré que la suite est géométrique.

Tu ne prends pas de recul , tu as la tête dans les calculs, c'est pour ça que tu te trompes.
Enoncé de l'exercice :
En 2020, il y a au total 2 500 arbres dans la jungle. Cependant, chaque année, 10% des arbres soient abattus et cents arbres soient replantés. On désigne u_n, le nombre d'arbres à  l'année 2020 + n.
1) Donner les 3 premiers termes de la suite.
2) Justifier que : u_n+1 = 0,9u_n + 100
3) Soit la suite v_n définie pour tout entier naturel n par v_n = u_n - 1000
a) Prouver que la suite v est géométrique et donner la raison et v₀
b) Déduisez l'expression explicite de v_n puis de u_n

Pour la question 3a, tu avais écrit u₀ au lieu de v₀ en recopiant l'énoncé... c'est un labsus révélateur !

Quand je lis l'énoncé, j'essaie de voir où l'auteur de l'exercice veut m'emmener :

En 2020, il y a au total 2 500 arbres dans la jungle. Cependant, chaque année, 10% des arbres soient abattus et cents arbres soient replantés. On désigne u_n, le nombre d'arbres à  l'année 2020 + n.
1) Donner les 3 premiers termes de la suite.  Ok, je vais calculer les premiers termes.
2) Justifier que : u_n+1 = 0,9u_n + 100 Cette formule de récurrence n'est pas une formule connue, je connais 2 types de suites très basiques, les suites arithmétiques et les suites géométriques, et on n'est pas dans l'un ou l'autre cas.
3) Soit la suite v_n définie pour tout entier naturel n par v_n = u_n - 1000
a) Prouver que la suite v est géométrique et donner la raison et v₀ Ok ... je fais confiance, si v est une suite géométrique, je connais une formule qui permet de calculer n'importe quel terme directement, sans calculer tous les termes intermédiaires.
b) Déduisez l'expression explicite de v_n puis de u_n
Pour v_n, suite géométrique, je connais la formule, v_n=v₀*rⁿ, et du coup, comme u_n=v_n+1000, j'aurai ma formule immédiatement.

Je viens de lire l'énoncé, je n'ai fait aucun calcul, mais je vois où l'exercice m'emmène. Et je garde tout ça en tête pendant que je fais les calculs.  Je peux même écrire tout ça au brouillon, comme fil-rouge.

3b) Vn=V0*r^n
               = 1500 * 0,9^n
Un = Vn + 1000
Un = 1500 * 0,9^n + 1000 ?

bien sûr

0 < q < 1
0 < 0,9 < 1

Donc la suite est croissante

la suite, laquelle ? il y en a deux dans ton énoncé

apprendre son cours avant de faire ses exercices est primordial...

Tout ce qui concerne les suites géométriques

On me demande les variations et la limite de la suite Un ( je l'ai précisé dans l'énoncé..) et d'interpréter dans le contexte

0 < q < 1

U0 > 0
2 500 > 0 La suite est décroissante

tu balances des hypothèses, mais interviennent-elles dans ta réponse ?
peux-tu écrire un raisonnement complet et correct, avec juste ce qu'il faut ...

Un = 1500 * 0,9^n + 1000
lim ( 1500 * 0,9^n + 1000) = 1000

Le nombre d'arbres à 2020 + n se stabilise vers 1000 arbres

ok
il te restera à étudier proprement (et pas avec de faux arguments) les variations de la suite (u_n)

Pourquoi on me demande " les " variations ?

Il s'agit ici de dire si la suite est croissante ou décroissante, non ?

0 < q < 1
0 < 0,9 < 1
Donc lim Un = 0  

parce qu'on dit toujours les variations et non la variation

je ne sais pas qui est q, il n'y en a pas dans ton exercice
0,9 n'a pas grand chose à voir avec la suite (u_n)
tu ne peux pas appliquer à (u_n) un résultat sur les suites géométriques puisque (u_n) n'est pas géométrique

sois plus rigoureuse...

Un = 1500 * 0,9^n + 1000
la raison n'est pas 0,9 ?

non, cette suite n'a pas de raison
on ne parle de raison que soit pour une suite arithmétique, soit pour une suite géométrique, et là, tu n'as ni l'un ni l'autre

mais tout n'est pas perdu...un bout est mieux connu ...

il s'agit de U0 = 2 500
qui est donc supérieur à 0
Donc la suite est croissante?

je ne connais pas ce théorème

Dans mon cours, c'est par la raison que je peux déterminer les variations de la suite, et non avec un "morceaux de [l'] exercice".

la raison de Un une suite géométrique de premier terme U0

... justement c'est pour vous dire que dans mon cours il n'y a que cette méthode pour déterminer les variations d'un suite.

eh bien utilise le sur la "bonne" suite ! c'est ce que j'attends depuis tout à l'heure ...

On me demande de trouver les variations de la suite Un. Ce n'est pas à moi d'utiliser une autre suite puisqu'on m'impose la suite Un.

Je cite : la raison de Un une suite géométrique de premier terme U0

Ton cours parle de la croissance/décroissance (et de la limite) d'une suite géométrique.
Que cette suite s'appelle (U_n) ou (V_n) ou autrement, peu importe, ce qui compte, c'est que la suite soit géométrique.
Et a priori, ton cours distingue 4 cas, voire 6 cas, voire un peu plus.

ty59847, je te laisse la main

Pourriez-vous citer les 4 cas ? C'est dans le programme des maths spécialités ou complémentaires ?

je réponds pour le programme, pas pour le reste
c'est du programme de 1re Les programmes de première en vigueur à la rentrée 2019