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système d'équation d'ensembles

Posté par
Rexe 03-10-20 à 23:27

bonjours , j'ai rencontré cet question dans un TD
énonce "Soit I un ensemble et (Ai)iI, (Bi)iI deux familles de parties de E. Résoudre les systèmes d'équations en précisant les conditions assurant l'existence de solutions"
(S1) : i I; Ai X = Bi
(S2) : i  I; Ai X = Bi
il faut mentionner que j'ai déjà résolu   A X= B
les conditions d'existence si je ne trompe pas :
A OU = B
X B et B\A X
solution est X = B\AF (avec F une partie de B)

Posté par
jsvdbre : système d'équation d'ensembles 04-10-20 à 00:02

Bonjour Rexe.
Effectivement, si A etB sont deux parties d'un ensemble E, alors l'équation en X, A X = B implique que A doit être une partie de B pour avoir une solution X, laquelle solution doit également être une partie de B.
Donc conditions nécessaires : A \subset B et X \subset B.
Maintenant, ces conditions sont suffisantes, et il suffit que X \supset B\backslash A pour que A \cup X = B.

Donc l'ensemble des solutions est :
- \emptyset  si  A \not \subset B
-  \{X \in \mathfrak P(E)~/~B\backslash A \subseteq X \subseteq B\} sinon
------------------------------------------------------
Alors maintenant pour l'intersection, il faut résoudre A \cap X = B.
Là, il est clair que A doit contenir B, ainsi que X.
De plus, si x \in A\backslash B alors clairement si x \in X alors A \cap X = B\cup \{x\} \neq B
Mais si x \in \complement A alors si x \in X, on a A \cap X = B

Donc l'ensemble des solutions est
- \emptyset  si  B \not \subset A
- \{X \in \mathfrak P(E)~/~B \subseteq X \subseteq B\cup P~/~P\in \mathfrak P(\complement A)\} sinon

Posté par
Rexere : système d'équation d'ensembles 04-10-20 à 10:18

oui c'est je que j'ai trouvé pour ces deux équations , mais il reste maintenant les deux systèmes
(S1) : i  I; Ai  X = Bi
(S2) : i I; AiX = Bi
on doit chercher les solutions X qui vérifient les deux systèmes .

Posté par
carpediemre : système d'équation d'ensembles 04-10-20 à 11:59

salut

quelles sont les solutions de A_1 \cup X = B_1 ?
quelles sont les solutions de A_2 \cup X = B_2 ?
...
quelles sont les solutions de A_n \cup X = B_n ?
...

à quelle condition X est solution de toutes ces équations ?


en notant A* le complémentaire de A on peut ensuite remarquer que A \cap X = B \iff A^* \cup X^* = B^*

et connaissant X* il est aisé d'avoir X ...

Posté par
Rexere : système d'équation d'ensembles 04-10-20 à 12:28

oui pour l'intersection , j'ai procède par la même idée , mais pour l'union voila ce que j'ai trouvé juste récemment
conditions Bi
et i Bi \Ai i Bi
Solution S = {X P(E) / i Bi \Ai X et X Bi}
bien sur j'ai mal rédige et c'est peut être faux

Posté par
Rexere : système d'équation d'ensembles 04-10-20 à 12:31

corrigé
Solution S = {X P(E) /  iI :   Bi \Ai X et X   Bi}

Posté par
Rexere : système d'équation d'ensembles 04-10-20 à 12:33

et bien sur j'ai oublie
iI Ai ou = Bi

Posté par
carpediemre : système d'équation d'ensembles 04-10-20 à 13:46

il serait bien de savoir que A = B => A \subset B

de même que a = b => a \le b

Posté par
Rexere : système d'équation d'ensembles 04-10-20 à 14:30

donc c'est pas nécessaire d'ajouter ce = , j'ai cru que a un sens comme strictement , mais ce que j'ai écrit comme solution est donc vrai ?


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