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Niveau Maths sup
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système libre logique

Posté par
UneL1maths
09-12-23 à 23:00

.bonjour

On dit que
deux nombres complexes z et z' forment un système libre si :
V (B,C) ,E R (Bz' + Cz = 0, implique
・B=C=0)・
1. Montrer que 1 et i forment un système libre.
2. Plus généralement, si z = u + iv et z' = u' + iv' avec (u, v) € IR2 et (u', v') € IR2, montrer que z et z' forment un système libre si et seulement si uv' - u'v ‡ 0.

J'ai un problème avec cet exercice. Je trouve l'inverse enfaite je suis partie de Bz' + Cz = 0
J'ai remplacé avec l'expression u et v à et z' j'ai fais l'identification des partie imaginaire et réelle et je suis arrivé à la conclusion que uv' - u'v = 0


Pourriez vous m'aider ou me dire où jai faute s'il vous plaît

Posté par
MattZolotarev
re : système libre logique 10-12-23 à 00:06

Je traduis pour les éventuels lecteurs de ce fil, car ce que tu écris est difficilement déchiffrable !

Citation :
On dit que deux nombres complexes z et z' forme un système libre si :
\forall B,C\in\mathbb{R}, Bz+Cz'=0\Longrightarrow B=C=0


Je te laisse continuer de chercher un peu, j'ai du travail, mais je te répondrai plus tard si j'ai un peu plus de temps

Posté par
MattZolotarev
re : système libre logique 10-12-23 à 01:22

Rebonsoir !

Alors, ton objectif est de démontrer que (z,z') forme un système libre si et seulement si uv'-u'v\neq 0.

Tu as vu le raisonnement par contraposée, qui se base sur le fait que si A et B sont deux propositions, on a A\Longrightarrow B \equiv \neg B\Longrightarrow \neg A ?

Dans la même veine on a A\Longleftrightarrow B \equiv \neg B\Longleftrightarrow \neg A, dans ton cas, donc, je pense qu'il est plus aisé de montrer que

(z,z') n'est PAS un système libre si et seulement si uv'-u'v=0.

\Longrightarrow Dire que (z,z') n'est pas un système libre, ça signifie quoi concrètement ? Il te faut nier la phrase que tu as donnée. Alors tu pourras montrer que uv'-u'v=0

\Longleftarrow Réciproquement, si uv'-u'v=0, et bien tu peux facilement montrer que (z,z') n'est pas un système libre en choisissant astucieusement des valeurs pour B et C dans ta définition.

Posté par
carpediem
re : système libre logique 10-12-23 à 09:55

salut

pourquoi prendre des majuscules ?
pourquoi "oublier" la lettre a" ?

az + bz' = (au + bv) + i(au' + bv') = 0

au + bv = 0
au' + bv' = 0

vu que le résultat est donné on multiplie la première par v' et la seconde par v et on soustrait membre à membre

puis la première par u' et la seconde par u et on soustrait membre à membre

ce qui donne ... ?

ensuite en raisonnant convenablement et  sans oublier les quantificateurs devant a et b alors on montre que ça imposent uv' - v'u \ne 0



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