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Posté par
lakere : tableau de variation 03-04-19 à 09:37

Bonjour,

2) De 1)c), on déduit immédiatement que pour tout x réel \lim\limits_{h\to 0}F(x+h)=F(x)

    C'est quasiment la définition de la continuité en x.

Pour la monotonie sur [0,\pi], on suppose h>0 et 0\leq x+h\leq \pi d'où 0< h\leq \pi-x

\begin{aligned}F(x+h)-F(x)=-2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(\dfrac{h}{2}\,\sin\,t\right)\,\sin\left[\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\,\sin\,t\right]\,\text{d}t\end{aligned}

  0\leq \dfrac{h}{2}\leq \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{x}{2}\leq \dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow \sin\left(\dfrac{h}{2}\,\sin\,t\right)\geq 0  (avec t\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right])

  0\leq x\leq x+\dfrac{h}{2}\leq \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{x}{2}\leq \pi\Longrightarrow \sin\left[\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\,\sin\,t\right]\geq 0 (avec t\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right])

Donc avec h>0,   et 0\leq x+h\leq \pi,  F(x+h)-F(x)\leq 0

F est décroissante sur [0,\pi]

3)b) \begin{aligned} \left|\Delta(h)\right|=\left|-\dfrac{2}{h}\,\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(\dfrac{h}{2}\,\sin\,t\right)\,\sin\left[\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\,\sin\,t\right]\,\text{d}t+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\,t\,\sin\left[\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\,\sin\,t\right]\,\text{d}t\right|\end{aligned}

Je passe les détails, mais on regroupe les deux intégrales à l'intérieur de la valeur absolue, on factorise par le sinus qui va bien, on écrit ensuite que la valeur absolue d'une intégrale est inférieure à l'intégrale de la valeur absolue et que la valeur absolue du sinus factorisé est inférieure à 1 pour obtenir:

  \begin{aligned} \left|\Delta(h)\right| \leq \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{2}{|h|}\,\left|\sin\left(\dfrac{h}{2}\,\sin\,t\right)-\dfrac{h}{2}\,\sin\,t\right|\,\text{d}t\end{aligned}

On utilise ensuite 3)a) pour obtenir:

    \left|\Delta(h)\right| \leq \dfrac{\pi\,h^2}{48}

Puis en 3)c) que \lim\limits_{h\to 0}\Delta(h)=0

Citation :
3.dje ne sais pas


Mais il n'y a pas de 3)d)
  

Posté par
lakere : tableau de variation 03-04-19 à 10:03

3)d) La valeur absolue de la dérivée majorée par 1 ???

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 03-04-19 à 12:05

Bonjour tout d'abord merci pour le debut ,
2.F continue sur R ?
mais 3.b en utilisant 3.a y a un cube au lieu d'un carre ?? d'ou vient le carre dans le3.b
3.dMontrer que F est derivable au point x
4.a est ce juste ce que j'ai fait ?

Posté par
lakere : tableau de variation 03-04-19 à 12:10

2) Ben oui, c'est la définition.

3)b)

Citation :
mais 3.b en utilisant 3.a y a un cube au lieu d'un carre ?? d'ou vient le carre dans le3.b


  Regarde mieux il y a un \dfrac{2}{{\red|h|}} qui traine.

Posté par
lakere : tableau de variation 03-04-19 à 12:22

3)d) Si \lim\limits_{h\to 0}\left|\Delta(h)\right|=0, cela signifie que:

  \begin{aligned}\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=-\lim\limits_{h\to 0}\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\,t\,\sin\left[\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\,\sin\,t\right]\,\text{d}t\right)\end{aligned}

L'intégrande est parfaitement définie et continue en t donc l'intégrale est définie et admet une limite finie lorsque h\to 0

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 03-04-19 à 12:36

tu m'as marche dessus haha je l'avais juste ecris sur ma feuille

Posté par
lakere : tableau de variation 03-04-19 à 12:40

Je reprendrai 4) un peu plus tard. Ton topic est devenu un véritable foutoir (par ta faute).
Je commence à avoir du mal à m'y retrouver...

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 03-04-19 à 12:44

Molotov79 @ 02-04-2019 à 21:38

Salut lake ,
4.a.voila ce que j'ai car je n'en suis pas sur :
f\pi(\frac{\pi}{6})=0 or f\pi(t) a pour maximum 1 sur [0,pi/2] alors f\pi(t)\leq 1
or f\pi
(t)>0 sur [0;\frac{\pi}{6}] alors Af[sub]\pi(t)\leqA[sub]y=1 sur [0;pi/6] donc \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{F\pi(t)}dt\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{dt}
donc 0<I<pi/6

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 03-04-19 à 13:04

c'est vrai que c'est devenu un desordre car j'avais poste une question sur cet exercice esperant que c'etait mon seul probleme et plus j'avance plus j'en vois d'autres, du coup j'ai poste l'exercice tout entier et puis un administrateur l'a colle avec ce topic , mais la prochaine fois j'essayerai d'etre plus pose et moins fouillis pour plus de clarte

Posté par
lakere : tableau de variation 03-04-19 à 15:36

4)a) Oui I\leq \dfrac{\pi}{6}

Les questions précédentes présentaient quelques difficultés; c'est pourquoi j'ai lâché un peu de lest.  Mais maintenant, c'est plus facile: il va falloir y mettre du tien.

4)b) La fonction g est une fonction affine. Son graphe passe par les points B\left(\dfrac{\pi}{6},0\right) et C\left(\dfrac{\pi}{2},0\right) (voir  la figure de la page précédente).

La moindre des choses est de calculer une équation de cette droite.

5)a) Quelle est donc l'expression de k(x)=(g-f_{\pi})(x) ?

   calculer ensuite successivement k'(x) et k''(x) et en déduire le signe de h''(x) sur \left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right]

   tu en déduis les variations de k' puis son signe et enfin en 5)b) les variations de k puis son signe.

5)c) Si tu as bien travaillé, tu as montré que k(x)\geq 0 sur  \left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right]

  donc que f_{\pi}(x)\leq g(x) sur  \left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right]

  on peut même écrire l'encadrement (voir encore la figure de la page précédente):

    -1\leq f_{\pi}(x)\leq g(x) sur  \left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right]

et on intègre sur ce même intervalle:

\begin{aligned}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}-\,\text{d}t\leq J\leq \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}g(t)\,\text{d}t\end{aligned}

5)d) F_{\pi}(x)=I+J et tu as des encadrements de I et J

  Finalement, je reposte la figure pour plus de clarté:

  tableau de variation

Seule les courbes représentatives de f_{\pi} et g sont vraiment utiles...
  

Posté par
lakere : tableau de variation 03-04-19 à 15:40

Seules !

Posté par
lakere : tableau de variation 03-04-19 à 16:20

Son graphe passe par les points B\left(\dfrac{\pi}{6},0\right) et C\left(\dfrac{\pi}{2},{\red -1}\right) (voir  la figure).

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