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Niveau terminale
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tableau de variation

Posté par
Molotov79 18-03-19 à 18:14

Salut je demande de l'aide
Quel est le tableau de variation de h(x)=cos(2pi.sin(x)) sur [0;pi/2] ?
moi j'ai comme derivee h'(x)=-2pi.cos(x).sin(2pi.sin(x)) et c'est decroissante strictement sur [0;pi/2]

Posté par
carpediemre : tableau de variation 18-03-19 à 18:24

salut

il faut déterminer le signe de la dérivée ...

Posté par
matheuxmatoure : tableau de variation 18-03-19 à 18:25

bonsoir

ok pour la dérivée

justifie les variations

Posté par
matheuxmatoure : tableau de variation 18-03-19 à 18:25

salut carpediem ... je te laisse poursuivre

Posté par
carpediemre : tableau de variation 18-03-19 à 18:27

salut MM ... tu peux intervenir sans pb ...

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 18-03-19 à 18:31

un produit de facteur est nul si au moins l'un des fact est nul alors la derivee s'annule en 0 et pi/2 mais cosX>0 sur [0;pi/2] et -sinX<0 sur le meme intervalle donc par produit la derivee est negative

Posté par
matheuxmatoure : tableau de variation 18-03-19 à 18:34

c'est pas vraiment le produit de ces deux trucs là qu'on a !

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 18-03-19 à 18:43

:?

Posté par
carpediemre : tableau de variation 18-03-19 à 18:45

h'(x)=-2pi.cos(x).sin(2pi.sin(x))

le signe de -2pi cos x est immédiat ...

reste le dernier facteur ...

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 18-03-19 à 19:03

le dernier facteur j'en suis a sinx=sin(k.pi)/2pi , apres 1ere resolution mais  ?

Posté par
matheuxmatoure : tableau de variation 18-03-19 à 19:05

x varie dans ...
sin(x) varie dans ...
2 sin(x) varie dans ...

Posté par
Molotov79P.Dev33 sinus integrale 18-03-19 à 20:39

Salut tout le monde je bloque et je demande votre aide.
Exercice
On t-\frac{t^3}{6}\leq sin(t)\leq t (1) t[0;+inf[
Pour tout reel x on associe F(x)=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{cos(xsin(t)})dt
On veut etudier F de R-->R ainsi definie.
1.Montrer que (x,h)R2, on a :
a).F(x+h)-F(x)=-2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin(\frac{h}{2}sin(t)).sin((x+\frac{h}{2})sin(t))dt (je l'ai fait)
b)\mid sin(\frac{h}{2}sin(t)).sin((x+\frac{h}{2})sin(t)\mid \leq \frac{\mid h\mid }{2}
c)\mid F(x+h)-F(x) \mid\leq \frac{\pi\mid h \mid}{2}
2.En deduire de ce qui precede que F continue sur R et monotone sur [0;pi].
3.Soit x un reel fixe. h* on pose: (h)=\frac{F(x+h)-F(x)}{h}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sin(t).sin((x+\frac{h}{2}})sin(t))dt
a)En utilisant (1), montrer que |sin(\frac{h}{2}sin(t))-\frac{h}{2}sin(t)|\leq \frac{|h^3|}{48}|sin(t)|\leq \frac{|h^3|}{48}
b)Etablir que:|\Delta (h)|\leq \frac{\pi|h^2|}{48}
c)En deduire que limh0\Delta(h)=0
4.On se propose de trouver un encadrement du reel F(\pi).Soit F(\pi)=I+J avec I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{cos(\pi.sin(t))dt et J=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{cos(\pi.sin(t))}dt.On designe par A,B et C les points d'abcisses 0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2} de (x)(on demande de  construire sur [0;pi/2] fx(t)=cos(xsin(t)) pour 0,pi/2,pi et 2pi sa courbe est (x))
a.Par consideration d'aires montrer que 0<I<pi/6
b)soit g(t)=at+b la fonction affine represente par la droite (BC)
5)on pose k=g-f\pi
a.Verifier que t[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}], h"(t)<0 et que h'(\frac{\pi}{6})>0, h'(\frac{\pi}{2})\leq 0
b.En deduire que t[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2} h(t)>0
c)Par considerations d'aires, montrer que:\frac{-pi}{3}\leq J\leq \frac{-\pi}{6}
d)Conclure et representer graphiquement la variation de la restriction de F a [0,pi]
MERCI !

1.b et le reste j'arrive pas

*** message déplacé ***

Posté par
vhamre : P.Dev33 sinus integrale 19-03-19 à 12:22

Bonjour,

1b) : développer cos(((x+h/2)+h/2)sin(t)) et cos(((x+h/2)-h/2)sin(t)) et additionner (bien voir les parenthèses)

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : P.Dev33 sinus integrale 19-03-19 à 19:31

Bonsoir,
Pourquoi developper ?

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : P.Dev33 sinus integrale 19-03-19 à 19:48

l'addition donne 2Cos((x+h/2)sin(t).sin((h/2)sin(t))

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : P.Dev33 sinus integrale 19-03-19 à 20:57



*** message déplacé ***

Posté par
vhamre : P.Dev33 sinus integrale 19-03-19 à 23:47

Bonsoir,

CORRECTIF : 1a) développer cos(((x+h/2)+h/2)sin(t)) et cos(((x+h/2)-h/2)sin(t)) et soustraire (bien voir les parenthèses)

1b) \mid sin(\frac{h}{2}sin(t)).sin((x+\frac{h}{2})sin(t) \textcolor{red}{) } \mid =\mid sin(\frac{h}{2}sin(t)) \mid . \mid sin((x+\frac{h}{2})sin(t) ) \mid \leq \mid sin(\frac{h}{2}sin(t)) \mid \leq \mid \frac{h}{2}sin(t) \mid\ \leq \mid \frac{h}{2}\mid .\mid sin(t) \mid\leq  \frac{\mid h\mid }{2}


Je vous laisse maintenant montrer comment vous continuez.

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : P.Dev33 sinus integrale 20-03-19 à 09:11

Bonjour,
1c.|sin(\frac{h}{2}sin(t).sin((x+\frac{h}{2})sin(t))|\leq \frac{|h|}{2}
|-2sin(\frac{h}{2}sin(t).sin((x+\frac{h}{2})sin(t))|\leq|-2| \frac{|h|}{2}
|-2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sin(\frac{h}{2}sin(t).sin((x+\frac{h}{2})sin(t))}dt|\leq \frac{|h|\pi}{2}
finalement|F(x+h)-F(x)|\leq \frac{\pi|h|}{2}

2.je ne sais pas

3.a.Avecl'inegalite du (1) quand je pose t=\frac{h}{2}sin(t) j'ai :
\frac{-h^3}{48}\leq \frac{-h^3}{48}sin(t)\leq sin(\frac{h}{2}sin(t))-\frac{h}{2}sin(t)\leq 0
donc |sin(\frac{h}{2}sin(t)-\frac{h}{2}sin(t)|\leq \frac{|h^3|}{48}|sin(t)|\leq \frac{|h^3|}{48}

b.Etablir que |\Delta(h)|\leq\frac{\pi h^2}{48} , je ne sais pas
c.0\leq|\Delta(h)|\leq\frac{\pi h^2}{48} en calculant la limite du membre de droite en 0 j'ai 0 et d'apres le theoreme des gendarmes j'ai limite de (h)=0
d)je ne sais pas car c'est pas clair mais je propose :
cos(xsin(t)) derivable sur tout R comme composee de 2 fonctions derivables sur R donc c'est aussi derivable sur x car x element de R

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : P.Dev33 sinus integrale 20-03-19 à 09:28

4.a par considerations d'aires montrer que 0<I<pi/6
0<t<pi/6 par encadrement successif j'ai l'inegalite , mais pourquoi me parle t on d
aires alors

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 20-03-19 à 09:56

2sin(x) varie dans [0;2pi]

Posté par
matheuxmatoure : tableau de variation 20-03-19 à 09:57

alors faut étudier le signe de ce machin là !

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 20-03-19 à 10:34

Salut matheuxmatou,
quel machin exactement ?

Posté par
carpediemre : tableau de variation 20-03-19 à 11:21

si 2pi sin x varie dans [0, 2pi] alors son sinus varie dans ...

et donc son signe est ...

Posté par
matheuxmatoure : tableau de variation 20-03-19 à 11:22

ben le signe de sin(2 sin(x))

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 20-03-19 à 11:57

en posant 2pi.sinx=X j'ai sinX varie dans [0;2pi] alors c'est positif sur [0;pi] et negatif sur [pi;2pi]

Posté par
Molotov79re : P.Dev33 sinus integrale 20-03-19 à 11:59



*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : tableau de variation 20-03-19 à 12:39

certes mais c'est x qui nous intéresse ensuite ...

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 20-03-19 à 13:05

ensuite ?

Posté par
carpediemre : tableau de variation 20-03-19 à 13:23

on sait quand sin est positif et sin est négatif ...

ce qu'on veut c'est les intervalles correspondants pour x !!!

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 20-03-19 à 15:54

:?

Posté par
alb12re : tableau de variation 20-03-19 à 15:58

salut,
sais tu trouver les valeurs qui annulent la derivee ?

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 20-03-19 à 16:10

justement , non je me suis arrete a sin(x)=k/2 dans ma resolution pour le membre avec le sinus

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 20-03-19 à 21:25

Posté par
Molotov79re : P.Dev33 sinus integrale 20-03-19 à 21:25



*** message déplacé ***

Posté par
alb12re : tableau de variation 20-03-19 à 21:56

valeurs possibles de k ?

Posté par
lakere : P.Dev33 sinus integrale 21-03-19 à 13:21

Bonjour,

Je ne fais que passer.

vham @ 19-03-2019 à 23:47




1b) \mid sin(\frac{h}{2}sin(t)).sin((x+\frac{h}{2})sin(t) )  \mid =\mid sin(\frac{h}{2}sin(t)) \mid . \mid sin((x+\frac{h}{2})sin(t) ) \mid \leq {\red  \mid sin(\frac{h}{2}sin(t)) \mid \leq \mid \frac{h}{2}sin(t) \mid } \\ \leq \mid \frac{h}{2}\mid .\mid sin(t) \mid\leq  \frac{\mid h\mid }{2}


On sait que pour tout X\geq 0,  \sin\,X\leq X

Mais il y a un petit pas à franchir pour montrer que:

  pour tout X\in\mathbb{R},  |\sin\,x|\leq |x|

*** message déplacé ***

Posté par
lakere : P.Dev33 sinus integrale 21-03-19 à 13:22

Mais il y a un petit pas à franchir pour montrer que:

  pour tout X\in\mathbb{R},  |\sin\,X|\leq |X|

*** message déplacé ***

Posté par
vhamre : P.Dev33 sinus integrale 21-03-19 à 15:22

Bonjour,

@ lake : Je n'ai effectivement pas votre rigueur, et vous avez raison de souligner le petit pas nécessaire
car l'énoncé ne donne que t[0;+inf[

Si on sait que pour tout X\leq 0,  X\leq \sin\,X
le petit pas conduit bien à : pour tout X\in\mathbb{R}, |\sin\,X|\leq |X|

*** message déplacé ***

Posté par
lakere : P.Dev33 sinus integrale 21-03-19 à 15:46

>>vham:

  Je n'ai jamais mis en doute ta "rigueur". Je voulais juste attirer l'attention de Molotov79 sur ce minuscule passage un peu elliptique.
  Passage que tu viens de justifier d'ailleurs.

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : P.Dev33 sinus integrale 21-03-19 à 16:53

Bonjour, donc le passage a la valeur absolue change le sens le l'inegalite ?
Qu'en est il pour la suite ? regarder ce que j'ai fait

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 21-03-19 à 16:54

comment les choisir ces valeurs ?

Posté par
alb12re : tableau de variation 21-03-19 à 17:03

k entier entre 0 et 2

Posté par
matheuxmatoure : tableau de variation 21-03-19 à 17:11

tu dois étudier le signe de sin(A) avec A=2 sin(x) compris entre 0 et 2

Posté par
alb12re : tableau de variation 21-03-19 à 22:02

Quel salmigondis !

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 26-03-19 à 08:02

Aidez moi SVP

Posté par
lakere : tableau de variation 26-03-19 à 18:52

Une figure qui peut te guider pour la question 4)

tableau de variation

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 31-03-19 à 11:28

Je suis carrément à l'ouest

Posté par
lakere : tableau de variation 31-03-19 à 12:14

Par rapport à l'énoncé de 20h39: où en es-tu ?

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 02-04-19 à 21:38

Salut lake ,
bon 2je ne sais pas
3.ac'est ok
3bje ne sais pas
3.cc'est ok
3.dje ne sais pas
4.a.voila ce que j'ai car je n'en suis pas sur :
f\pi(\frac{\pi}{6})=0 or f\pi(t) a pour maximum 1 sur [0,pi/2] alors f\pi(t)\leq 1
or f\pi
(t)>0 sur [0;\frac{\pi}{6}] alors Af[sub]\pi(t)\leqA[sub]y=1 sur [0;pi/6] donc \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{F\pi(t)}dt\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{dt}
donc 0<I<pi/6

Posté par
Molotov79re : tableau de variation 03-04-19 à 00:23

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