Bonjour à toutes et à tous,

J'aurais besoin de vos lumières.

En vous remerciant d'avance.

Le sujet est :

Soit 𝒫(𝐸) l'ensemble des parties de 𝐸.
Montrer qu'il n'existe pas d'application surjective 𝑓:𝐸→𝒫(𝐸).
Considérer la partie F={𝑥∈𝐸,𝑥∉𝑓(𝑥)}.

☆

Pour y voir plus clair j'ai essayé de concrétiser un peu le problème.

E est constitué d'Alfred, Basile et Carter.
E={A,B,C}
𝒫(𝐸)={∅,{A},{B},{C},{A,B},{A,C},{B,C},{A,B,C}}
On demande à chacun de ces trois personnages de proposer une nouvelle équipe pour accomplir une mission (démontrer le théorème de Cantor par exemple).
Ainsi Alfred propose une nouvelle équipe composée de Basile et Carter.
Basile quant à lui propose une nouvelle équipe composée uniquement d'Alfred.
Enfin Carter propose une nouvelle équipe composée d'Alfred et de lui-même (Carter).
On peut considérer que l'application f correspond à "proposer une nouvelle équipe composée de membre(s) de l'équipe actuelle".
On a  :
x∈E (x est un membre de l'équipe actuelle comme Alfred, Basile ou Carter)
f(x)∈𝒫(𝐸)
f(A)={B,C}
f(B)={A}
f(C)={A,C}
Maintenant on crée un ensemble F qui contient les personnages qui ne se sont pas eux-mêmes proposés dans une nouvelle équipe.
Ainsi F={A,B}  (Carter s'était lui-même proposé)

Si j'ai compris,  la démonstration du théorème de Cantor cherche à montrer qu'aucun personnage n'a pu proposer l'ensemble F comme nouvelle équipe (pas évident pour moi au premier abord).

Mais ce que je n'arrive pas du tout à saisir c'est comment le fait de démontrer que pour une application particulière f de E dans 𝒫(𝐸) la surjectivité n'existe pas permet de démontrer qu'aucune surjection de E dans  𝒫(𝐸) n'est possible ???

Mon raisonnement est-il correct ?

Une démonstration académique suit  :

Supposons qu'il existe 𝑓:𝐸→𝒫(𝐸) surjective et on cherche s'il existe un antécédent à F.
( rappel : F={𝑥∈𝐸,𝑥∉𝑓(𝑥)} )
On appelle 𝑥₀∈𝐸, un antécédent de F, donc par définition 𝑓(𝑥₀)=F,
si 𝑥₀∈𝑓(𝑥₀) alors 𝑥₀∈F et donc 𝑥₀∉𝑓(𝑥₀) ce qui est contradictoire.
Si 𝑥₀∉𝑓(𝑥₀) alors par définition de F, 𝑥₀∈F=𝑓(𝑥₀) ce qui est aussi contradictoire.
L'hypothèse est donc fausse, en conclusion il n'y a pas d'application surjective de 𝐸 dans 𝒫(𝐸).