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Theorème de Cauchy et lemme de Goursat
Posté par Rana
Bonjour, quel est la différence entre le lemme de Goursat et le théorème de cauchy?
Je vois que le lemme de Goursat n'est autre que le théorème de cauchy sur un triangle ou un rectangle, alors pourquoi lors de la démonstration du lemme de Goursat on est obligé de faire toute cette démonstration( division du triangle en triangle plus petit...)? Ou y a t il une différence entre le lemme et le thèorème ?
Merci d'avance.
Bonsoir Rana.
Disons que le Lemme de Goursat est la version faible (énoncé pour des figures géométriques simples : triangle, rectangle, polygones) du théorème intégral de Cauchy.
La preuve du lemme de Goursat ne fait intervenir aucun résultat d'analyse complexe : dans les cours de licence ou dans les livres d'introduction, le lemme de Goursat prépare le terrain à la formule intégrale de Cauchy, qui permet de calculer la valeur d'une fonction holomorphe et de ses dérivées en fonction de ses valeurs sur un contour (pas forcément un triangle ou un rectangle).
Bonjour jsvdb
jsvdb @ 20-02-2019 à 22:51
la formule intégrale de Cauchy, qui permet de calculer la valeur d'une fonction holomorphe et de ses dérivées en fonction de ses valeurs sur un contour (pas forcément un triangle ou un rectangle).
la formule intégrale de Cauchy, qui permet de calculer la valeur d'une fonction holomorphe et de ses dérivées en fonction de ses valeurs sur un contour (pas forcément un triangle ou un rectangle).
Peut être je n'étais pas très claire dans ma question en disant théorème de cauchy.
Je veut dire par théorème de Cauchy :
Que si f possède une primitive dans un ouvert( ou si elle est holomorphe) alors l'intégrale de f sur toute courbe de Jordan est égale à zéro.
Alors que le lemme de Goursat nous donne le même résultat, mais si la courbe etait un rectangle ou un triangle.
Ce que je ne comprend pas est que: dans la démonstration de Goursat qu'on nous a donné en cours, à un certain endroit dans la dém. on a utilisé le fait que l'intégrale de f(a) +(z-a)f'(a) vaut 0 ( donc si je comprend bien on a utilisé le théorème de Cauchy??!). Alors si on a pu utilisé le théorème de Cauchy dans la dem. alors pourquoi ne pas l'utilisé dès le départ pour dire que l'intégrale de f sur un rectangle( courbe fermé C1 par morceau) =0.
Non tu n'utilises pas le théorème de Cauchy pour d'intégrale nulle sur un triangle
Soit [a,b] le segment liant a à b dans le plan complexe
Alors est une paramétrisation de g sur [a,b]
Alors
Ensuite tu sommes sur ce qu'il se passe sur [b,c] et [c,a]