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Niveau maths sup
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Théorème de la bijection

Posté par
Vesprian
03-10-20 à 22:19

Bonsoir, j'aurais besoin d'aide sur une partie du cours sur les ensembles et applications de mon cours de mathématiques.
Je ne comprends pas vraiment le théorème de la bijection qui est:
g o f =idE (identité de E)
Et... f o g = idF (identité de F)

Pourriez vous m'expliquer comment obtenir ce résultat ?
De plus, idE est elle la fonction qui à tout x comme antécédent donne x pour image ?

Merci d'avance !

Posté par
jsvdb
re : Théorème de la bijection 03-10-20 à 22:22

Bonjour Vesprian.
Un théorème commence par donner des hypothèse, puis finit par une conclusion. Je ne vois rien de tout cela ici. Donc on va avoir du mal à t'aider.
Alors stp, peux-tu nous donner un énoncé clair ?

Posté par
Vesprian
re : Théorème de la bijection 03-10-20 à 22:28

Pardon, je m'excuse.
Voici donc le théorème :
Soit f: l'application de E dans F.
Théorème 1:F est bijective si et seulement si il existe une application g de F dans E telle que:
- g o f=idE
-f o g=idF

Théorème 2: Quand g existe, elle est aussi bijective et est unique, c'est pourquoi on l'appelle (application) réciproque de f et la note f^-1.

Posté par
Zormuche
re : Théorème de la bijection 03-10-20 à 23:04

Salut
S'il existe une telle application g, alors on peut montrer que f est injective et surjective très facilement

l'implication contraire est encore plus simple, on pose g=f-1

Posté par
Zormuche
re : Théorème de la bijection 03-10-20 à 23:08

idF et idE sont les identités de F et de E

pour tout x de F, idF(x)=x
et pour tout x de E, idF(x)=x

mais l'image de idF par un élément de E n'a pas de sens (à moins qu'il soit aussi dans F mais ça c'est une autre histoire)

Posté par
Zormuche
re : Théorème de la bijection 03-10-20 à 23:08

Zormuche @ 03-10-2020 à 23:08

l'image de idF par un élément de E n'a pas de sens


l'image d'un élément de E par idF...

Posté par
jsvdb
re : Théorème de la bijection 03-10-20 à 23:40

Vesprian @ 03-10-2020 à 22:28

Pardon, je m'excuse.
Voici donc le théorème :
Soit f: l'application de E dans F.
Théorème 1:F est bijective si et seulement si il existe une application g de F dans E telle que:
- g o f=idE
- f o g=idF

Tu souhaitais savoir comment obtenir ce résultat.
C'est une double implication.

1- On va commencer par supposer que f est bijective, et on va montrer l'existence de g.
Comme f est injective, alors pour tout x,y deux éléments différents de E alors f(x), f(y) sont deux éléments différents de F.
Comme f est surjective, alors pour tout élément y de F, il existe un élément x de E tel que y = f(x). D'après l'injectivité, ce y est unique.
On peut donc monter une application g : F -> E telle que pour tout y de F, on fasse correspondre l'unique x de E tel que y = f(x) et on pose g(y) = x.

Par suite immédiate de cette définition il vient que x = g(y) = g(f(x)) et donc g o f = IdE.

De même, si y est élément de F, alors x = g(y) est l'unique élément de E qui soit en correspondance avec y par f. Donc f(g(y)) = y et f o g = IdF

2- On suppose qu'il existe une application g telle que g o f = IdE et f o g = IdF. Montrons que f est bijective.
f est injective : si on prend deux éléments x,y de E tels que f(x) = f(y) alors g o f(x) = g o f(y) et donc x = y.
f est surjective : si y est élément de F alors on a f o g(y) = y et g(y) est donc un antécédent de y dans E.
Conclusion : f est bijective

Citation :
Théorème 2: Quand g existe, elle est aussi bijective et est unique, c'est pourquoi on l'appelle (application) réciproque de f et la note f^-1.

Si une telle g existe, alors elle vérifie également les propriétés du théorème 1 et est donc bijective.
Montrons qu'elle est unique.
S'il en existait une autre, notée g' et vérifiant les mêmes propriétés, alors on aurait un y dans F tel que g(y) g'(y).
Mais par injectivité de f on aurait f(g(y)) f(g'(y)), c'est-à-dire y y. Absurde.

Ainsi, g a le privilège de pouvoir être notée f-1.

Posté par
carpediem
re : Théorème de la bijection 04-10-20 à 10:22

salut

jsvdb (et les autres) : le raisonnement par l'absurde est artificiel et sans intérêt

si g et h sont deux réciproques de f bijective alors pour tout y de F :  f(g(y)) = f(h(y))

or f est injective donc g(y) = h(y) pour tout y de F

donc g = h

Posté par
Vesprian
re : Théorème de la bijection 04-10-20 à 15:46

Merci beaucoup pour vos réponses !

Posté par
carpediem
re : Théorème de la bijection 04-10-20 à 15:52

de rien

Posté par
jsvdb
re : Théorème de la bijection 04-10-20 à 16:07

Vesprian @ 04-10-2020 à 15:46

Merci beaucoup pour vos réponses !

De rien et j'espère que tu pardonneras mon côté artificiel et sans intérêt 😉😂🤭. Je m'en excuse.

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