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Niveau Maths sup
Théorème de la bijection
Posté par Vesprian
Bonsoir, j'aurais besoin d'aide sur une partie du cours sur les ensembles et applications de mon cours de mathématiques.
Je ne comprends pas vraiment le théorème de la bijection qui est:
g o f =idE (identité de E)
Et... f o g = idF (identité de F)
Pourriez vous m'expliquer comment obtenir ce résultat ?
De plus, idE est elle la fonction qui à tout x comme antécédent donne x pour image ?
Merci d'avance !
Bonjour Vesprian.
Un théorème commence par donner des hypothèse, puis finit par une conclusion. Je ne vois rien de tout cela ici. Donc on va avoir du mal à t'aider.
Alors stp, peux-tu nous donner un énoncé clair ?
Pardon, je m'excuse.
Voici donc le théorème :
Soit f: l'application de E dans F.
Théorème 1:F est bijective si et seulement si il existe une application g de F dans E telle que:
- g o f=idE
-f o g=idF
Théorème 2: Quand g existe, elle est aussi bijective et est unique, c'est pourquoi on l'appelle (application) réciproque de f et la note f^-1.
Salut
S'il existe une telle application g, alors on peut montrer que f est injective et surjective très facilement
l'implication contraire est encore plus simple, on pose g=f-1
idF et idE sont les identités de F et de E
pour tout x de F, idF(x)=x
et pour tout x de E, idF(x)=x
mais l'image de idF par un élément de E n'a pas de sens (à moins qu'il soit aussi dans F mais ça c'est une autre histoire)
Zormuche @ 03-10-2020 à 23:08
l'image de idF par un élément de E n'a pas de sens
l'image de idF par un élément de E n'a pas de sens
l'image d'un élément de E par idF...
Vesprian @ 03-10-2020 à 22:28
Pardon, je m'excuse.
Voici donc le théorème :
Soit f: l'application de E dans F.
Théorème 1:F est bijective si et seulement si il existe une application g de F dans E telle que:
- g o f=idE
- f o g=idF
Pardon, je m'excuse.
Voici donc le théorème :
Soit f: l'application de E dans F.
Théorème 1:F est bijective si et seulement si il existe une application g de F dans E telle que:
- g o f=idE
- f o g=idF
Tu souhaitais savoir comment obtenir ce résultat.
C'est une double implication.
1- On va commencer par supposer que f est bijective, et on va montrer l'existence de g.
Comme f est injective, alors pour tout x,y deux éléments différents de E alors f(x), f(y) sont deux éléments différents de F.
Comme f est surjective, alors pour tout élément y de F, il existe un élément x de E tel que y = f(x). D'après l'injectivité, ce y est unique.
On peut donc monter une application g : F -> E telle que pour tout y de F, on fasse correspondre l'unique x de E tel que y = f(x) et on pose g(y) = x.
Par suite immédiate de cette définition il vient que x = g(y) = g(f(x)) et donc g o f = IdE.
De même, si y est élément de F, alors x = g(y) est l'unique élément de E qui soit en correspondance avec y par f. Donc f(g(y)) = y et f o g = IdF
2- On suppose qu'il existe une application g telle que g o f = IdE et f o g = IdF. Montrons que f est bijective.
f est injective : si on prend deux éléments x,y de E tels que f(x) = f(y) alors g o f(x) = g o f(y) et donc x = y.
f est surjective : si y est élément de F alors on a f o g(y) = y et g(y) est donc un antécédent de y dans E.
Conclusion : f est bijective
Citation :
Théorème 2: Quand g existe, elle est aussi bijective et est unique, c'est pourquoi on l'appelle (application) réciproque de f et la note f^-1.
Théorème 2: Quand g existe, elle est aussi bijective et est unique, c'est pourquoi on l'appelle (application) réciproque de f et la note f^-1.
Si une telle g existe, alors elle vérifie également les propriétés du théorème 1 et est donc bijective.
Montrons qu'elle est unique.
S'il en existait une autre, notée g' et vérifiant les mêmes propriétés, alors on aurait un y dans F tel que g(y)
g'(y).
Mais par injectivité de f on aurait f(g(y))
f(g'(y)), c'est-à-dire y y. Absurde.
Ainsi, g a le privilège de pouvoir être notée f-1.
salut
jsvdb (et les autres) : le raisonnement par l'absurde est artificiel et sans intérêt
si g et h sont deux réciproques de f bijective alors pour tout y de F : f(g(y)) = f(h(y))
or f est injective donc g(y) = h(y) pour tout y de F
donc g = h
