Bonjour,

Pour l'injection de dans ne vois tu pas une façon d'associer à un réel une fonction, de sorte que toutes les fonctions obtenues soient différentes ?
Et pour démontrer qu'il n'y a pas de surjection de sur , tu peux penser à l'argument diagonal de Cantor.

Au fait, pourquoi parles-tu de "fonctions de " ?   est l'ensemble de toutes les fonctions de dans , ce que je note .

Merci pour l'indice "R x R", j'avais mal compris ça!

Alors une fonction R --> R est par exemple
f(x) = 1/x
g(x) = cos (x)

Mais, est-ce que ça suffit déjà pour dire que c'est injective?

Pour la surjection par contre, je n'ai pas des idées, on n'a pas encore vu Cantor en cours.

La fonction n'est pas une fonction de dans , elle n'est pas définie en 0.
Mais si tu définis   par et si , alors est bien une fonction de dans .

ℝ≺𝐅(ℝ,ℝ)
On doit montrer qu'il existe une surjection de R sur toutes les fonction de R dans R, non?
Alors, si je donne un exemple d'une fonction surjective de R dans R, ce n'est pas encore assez, non?

Oui, nous avons vu en cours que N ≁ R, mais comment est-ce ça m'aide si je regarde seulement la domaine de R?

Oh la la, tu as l'air complètement dans le brouillard.

On peut démontrer que le cardinal de est inférieur ou égal à celui de   en produisant une injection de dans .
Concrètement, ça veut dire qu'on associe à chaque réel une fonction telle que si , alors la fonction est différente de la fonction .

Quelle fonction (très simple !) de dans pourrait-on associer au réel ?

Attention, ça n'a rien à voir avec le fait d'exhiber une fonction injective de dans !

Pour la suite, comment est-ce qu'on t'a démontré que le cardinal de est strictement plus petit que celui de ?

"Oh la la, tu as l'air complètement dans le brouillard."

--> c'est correcte

On a vu qu'ils n'ont pas le même cardinal, mais on n'a jamais regardé quel ensemble a le cardinal plus grand qu'un autre.

La fonction: f(x) = x ?

Hum.

On te donne un réel , et à ce réel tu associes quelle fonction de dans ? La fonction identité ?
Mais alors, si on te donne un autre réel , tu lui associeras toujours la même fonction identité de dans   ?
Tu ne vas sûrement pas définir comme ça une injection de dans !

Salut Mila1987

As-tu trouvé la fonction , on peut aussi l'écrire comme ceci . Cette partie est assez simple.

Cependant, je ne vois pas comment faire pour la suite...

Mila a l'air d'avoir abandonné.
Pour l'injection, on peut par exemple associer à un réel la fonction constante qui vaut constamment .
Et comme je l'ai déjà écrit, le même argument diagonal qui sert à démontrer qu'il n'existe pas de surjection de sur peut servir à démontrer qu'il n'existe pas de surjection de sur .

oui, mais l'argument diagonal utilise la récurrence, non?

Non, absolument pas.