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romu> Je rectifie une petite bêtise qu'on a écrite avant-hier:
deux ensembles élémentaires V et W ne sont pas toujours d'intersection non-vide!
ils sont d'intersection non-vide si les qui servent à définir le premier et les
qui servent à définir le deuxième sont eux-mêmes d'intersection vide(pense au travail de la question1), en revanche si l'intersection des
et des
est non-vide, alors il suffit de choisir correctement les rayons pour que V et W soient d'intersection vide (pense à la preuve de la séparation de l'espace!).
Tigweg 
Salut,
Dans mon cours j'ai cette définition:
Soit un espace topologique,
.
Une famille de voisinages ouverts de
, est dite locale en
si et seulement si tout voisinage de
contient un élément de
.
Par exemple si est un espace métrique,
est aussi une base locale dénombrable en
.
Et après le théorème que j'ai sur la caractérisation séquentielle de l'adhérence:
Soit un espace topologique tel que tout point admette une base locale dénombrable et
, alors
est l'ensemble des limites de suites de
.
OK, mais juste sur ce point précis, es-tu d'accord pour dire que ce n'est pas parce que tout voisinage d'une fonction f donnée contient une fonction continue qu'il existe forcément une suite de fonctions continues convergeant vers f?
Effectivement, je ne pense pas que ce soit vrai, même si au premier abord on aurait envie de dire que c'est bien le cas.
Bonjour à tous!
Je me suis un peu perdue dans vos discussions, alors je me raccroche aux branches. La méthode que je connais pour montrer que ce n'est pas métrisable:
Considérer l'ensemble A des fonctions qui valent 1 sauf pour un ensemble fini de points. Alors la fonction nulle est un élément adhérent à A, mais aucune suite de A ne peut converger vers la fonction nulle, donc ce n'est pas métrisable.
Si je fais double emploi avec quelque chose de déjà dit, vous ne m'en voudrez pas!
Bonjour Camélia et merci de ta participation!
Considérer l'ensemble A des fonctions qui valent 1 sauf pour un ensemble fini de points. Alors la fonction nulle est un élément adhérent à A,
-> Ce ne serait pas plutôt la fonction identiquement égale à 1 qui est adhérente à A?
La méthode que je connais pour montrer que ce n'est pas métrisable:
-> En fait la démarche de l'énoncé me semble analogue:
question c, il fallait prouver que les fonctions simples (ie nulles sauf en un nombre fini de points de [0;1]) sont denses (pour la topologie de la convergence simple) dans E (ensemble des fonctions de [0;1] dans lui-même), mais qu'aucune fonction non-nulle sur une infinité non-dénombrable de points n'est limite d'une suite de fonctions simples.
La question d demandait alors de conclure à la non-métrisabilité.
Cela dit il me semble avoir vu dans le Rudin(Analyse Fonctionnelle) et/ou dans mon cours de Maîtrise une condition de métrisabilité un peu moins exigeante (mais je n'en suis pas sûr) que celle que rappelle romu
(merci!J'y ai réfléchi toute la nuit et me suis souvenu des définitions que tu as rappelées tout-à-l'heure!
L'heure de mes différents messages en témoigne d'ailleurs!Et toi, pas trop difficile ta journée de travail.
):
cela a trait aux jauges me semble-t-il, et/ou à des conditions sur une famille de semi-normes.
Mes souvenirs sont très vagues comme vous le voyez, d'ailleurs ce que je dis ne semble pouvoir s'appliquer qu'aux espaces vectoriels topologiqes.
Tout renseignement sur le sujet sera le bienvenu!
Camélia(toujours toi!
)> Confirmes-tu les dires suivants:Il me semble que l'associativité est le minimum qu'on puisse exiger d'une lci.
Dans ce cas on parle de magma associatif, mais on n'exige pas l'existence d'un neutre.
Je crois que les magmas sont très peu étudiés en tant que tel car leur structure n'est pas assez riche.
A mon avis (mais des gens plus calés que moi pourront te répondre avec plus de certitude), si tu supprimes l'associativité, et que tu exiges un neutre, tu ne peux pas faire grand-chose de ta loi.
A confirmer!
otto> Merci, j'avais fini par le comprendre en potassant à nouveau les questions d'avant!
Voilà, merci à tous!
Tigweg
Je reviens tout juste du taf .
J'en suis à montrer que la fonction qui vaut 1 sur les rationnels et 0 ailleurs est limite d'une suite de fonctions simples.
Enfin, intuitivement j'aurai pensé que non.
Romu, tu t'en es sorti ou l'appel de la couette a-t-il été le plus fort?
Autre indication, au cas où(qui fait suite à la première):
tu peux numéroter les éléments de 
puis considérer pour tout n la fonction simple prenant la valeur 1 en
,
,...,
, et 0 partout ailleurs.
Bonne nuit au cas où!
Tigweg
On a le théorème de la limite simple de Baire, qui dit que si tu as une suite de fonctions continues de X vers Y, Y complet, qui converge simplement vers une fonction f, alors f est continue sur un ensemble dense de Y. (même un G delta je crois)
C'est quoi un G delta ?
Désolé, j'écrivais sur un autre topic!
Ton indication, c'est presque la réponse, non?
-> Euh...presque oui!
j'ai pas pu résister!
C'est quoi un G delta ?
Mais je ne suis plus très à l'aise avec ces notions...
Bonjour, je viens de trouver l'articles sur les G delta 
, apparemment c'est juste une intersection dénombrable d'ouverts (pas forcément dense).
Je mate le théorème de la limite simple de Baire, il y a la démo sur wiki mais pour les fonctions de dans
.
Donc je vais essayer de l'adpater pour les fonctions de dans
.
Salut,
oui un G delta est une intersection dénombrable d'ouverts.
La démonstration s'adapte très bien au cas général, il n'y a aucune difficulté, il suffit de remplacer les valeurs absolues par la distance.
Pour l'adapter au cas des fonctions de [0,1] dans [0,1] il n'y a rien à faire ou presque ...
Cela étant, j'imagine que l'on peut s'en sortir sans utiliser ce théorème ici, compte tenu de la forme de l'énoncé.
je parlais de la poste, les maths c'est pas du boulot
Ah je ne savais pas.
J'ai eu peur, l'espace d'un instant
d'ailleurs otto, je me demandais, quand on est doctorant on s'accorde des vacances d'été? ou on quitte complètement le rythme scolaire.
Parce qu apparemment une thèse, si j ai bien compris, c'est plus un métier que des études.
d'ailleurs otto, je me demandais, quand on est doctorant on s'accorde des vacances d'été? ou on quitte complètement le rythme scolaire.
Ca dépend des gens, mais en général tu ne veux pas trop que ta thèse traine, d'autant plus que tu peux voir une thèse comme une compétition. Tu dois faire quelque chose de nouveau, si tu traines et que quelqu'un bosse sur le même sujet que toi, tu risques d'avoir des surprises.
C'est arrivé à l'un de mes co-directeurs de thèse qui, à quelques semaines de la fin de sa thèse a été devancé par un autre. Il a du trouver un autre sujet en vitesse et a perdu quelques années ...
En revanche, ce n'est vraiment pas sain de faire ça toute la journée 7 jours sur 7. Donc tu peux (dois) prendre ça "relaxe" de temps en temps. Il suffit de doser intelligement.
Parce qu apparemment une thèse, si j ai bien compris, c'est plus un métier que des études.
Au salaire près, oui
Dans certaines universités, tu peux avoir des charges de cours en même temps que tu prépare ta thèse. En France, je crois que l'on ne peut avoir que des TD, ce qui est déjà très intéressant selon moi.
Je n'avais jamais pensé à ce côté compétitif.
Oui, mais il ne faut pas croire que la compétition est énorme. Il y'a très peu de chance que quelqu'un travaille sur le même sujet que toi, c'est juste pas de chance quand ça arrive
Sauf bien sur, si tu travailles sur l'hypothèse de Riemann, mais en partant tu sais que personne ne trouvera rien. D'ailleurs, personne n'accepterait d'encadrer une telle thèse.
Même Littlewood ou Hardy si leur doctorant était Andrew Wiles?
Plus sérieusement: je crois qu'il y a deux ans, un français (je ne sais plus qui) a prétendu l'avoir démontrée, non?
Qu'en est-il?
Bonjour à tous.
J'ai rédigé une démonstration du fait que E n'est pas métrisable.
Avec les notations de hier:
Je note z la fonction nulle.
Soit un voisinage élémentaire de z. La fonction f qui
vaut 0 en x1,...,xk et 1 ailleurs, est bien dans V et dans A. Ceci prouve
que z est adhérent à A.
Soit maintenant (fn) une suite d'éléments de A. Comme chacune de ces fonctions vaut 1 sauf en un nombre fini de points, l'ensemble est au plus dénombrable. Son complémentaire est donc non vide (il est même "très" infini), donc il existe x tel que fn(x)=1 pour tout x. Cette suite ne peut donc pas converger simplement vers z.
Comme dans un espace métrique tout point adhérent à une partie est limite d'une suite d'éléments de cette partie, ceci prouve que E n'est pas métrisable.
Pendant que vous regardez, j'essaye de répondre aux différentes questions que vous me posez. A plus
Si mes souvenirs sont bons, il me semble qu'un magma, c'est juste une loi interne. Après on lui ajoute un élément neutre, (magma unitaire) ou l'associativité (magma associatif) et voici enfin les monoïdes: loi associative et élémnt neutre. A partir de là il y a de la vraie théorie et l'étude est très difficile, plein de problèmes ouvertsm!
Bonjour Camélia et merci!
A partir de là il y a de la vraie théorie et l'étude est très difficile, plein de problèmes ouverts
-> J'ai donc raconté des bêtises!
(je me rattrape comme je peux!oui je crois que j ai compris cette démo de métrisabilité, pas la peine de répondre à ma question précédente
> Tigweg
Pour ce qui est des réunions et intersections de familles vides: d'abord, à manier avec pincettes, j'ai vu tout un séminaire de logique prêt à en venir au mains. Le problème était de savoir si la partie vide d'un ensemble E est LE vide ou si chaque E a le sien!
Toujours est-il qu'en revenant aux définitions on se convainc que la réunion d'une famille vide est bien vide; en revanche l'intersection d'une famille vide de parties de E est E puisqu'en fait on n'impose aucune condition!
Oui, romu, pour tout n.
Oui, Tigweg, avant les monoïdes, on ne peut pas faire grand chose (enfin, à ma connaissance!)
Plus sérieusement: je crois qu'il y a deux ans, un français (je ne sais plus qui) a prétendu l'avoir démontrée, non?
Qu'en est-il?
Louis de Branges, mais il prétend chaque année l'avoir démontrée.
C'est lui qui a déjà démontré la conjecture de Bieberbach.
Je ne sais pas ce qu'il en est pour l'hypothèse de Riemann.
Oui, Tigweg, avant les monoïdes, on ne peut pas faire grand chose
-> Ouf, l'honneur est sauf!
l'intersection d'une famille vide de parties de E est E puisqu'en fait on n'impose aucune condition!
-> ou parce que c'est l'élément neutre du magma (P(E),
'ai vu tout un séminaire de logique prêt à en venir au mains
->
Si vous parlez de l'hypothèse de Riemann, moi aussi j'ai connu des gens qui annoncaient tous les ans qu'ils l'avaient, mais pour autant que je sache, elle attend toujours! (Comme je continue à recevoir les mails de ma fac, un tel événement me serait certainement parvenu)
Il me semble que c'est toujours ouvert l'hypothèse de Riemann,
d'ailleurs il y en a qui cherche:
Pour ce qui est des réunions et intersections de familles vides: d'abord, à manier avec pincettes, j'ai vu tout un séminaire de logique prêt à en venir au mains. Le problème était de savoir si la partie vide d'un ensemble E est LE vide ou si chaque E a le sien!
Mais ça ne me semble pas bien sérieux
otto> Oui voilà Louis de Branges, merci!
Et ce n'était pas une mystification pour Bieberbach? (il dit quoi au fait ce théorème? )
t ce n'était pas une mystification pour Bieberbach? (il dit quoi au fait ce théorème?
Si tu as une fonction holomorphe f et injective sur le disque unité, si f(0)=0 et f'(0)=1, alors les coefficients du développement en série en 0 vérifient les inégalités
|a_n| <= n
l'inégalité est optimale (on peut prendre des fonctions de Koebe pour le montrer).
OK, donc ce n'était pas une mystification?
Qu'entends tu par là ?
Il l'a véritablement prouvé depuis 22 ans maintenant. Le théorème est un vrai théorème et très utilisé en analyse complexe. Même si on va rarement chercher des cas où n>5 qui étaient vraiment les cas à problème.
OK.
Comme manifestement il prétend à tort avoir prouvé Riemann chaque année, je me demandais simplement s'il ne mystifiait pas aussi pour Bieberbach.
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