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Niveau Maths sup
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topologie de la convergence simple

Posté par
romu 08-07-07 à 01:10

Bonsoir, encore un nouveau point où je sature.

Soit E l'ensemble des applications de [0,1] dans lui-même.
Pour toute f_0 \in E, on appelle ensemble élémentaire de centre f_0 tout ensemble V(f_0;\ \varepsilon;\ x_1,\cdots,x_n) où ce symbole désigne l'ensemble des f tels que

|f(x_i) - f0(x_i)| < \varepsilon\ (i=1,\cdots,x_n)

où \varepsilon est un nombre >0 et où les x_i sont des points de [0,1].
On appelle "ouvert" de E toute réunion d'ensembles élémentaires.

a) Vérifier que l'ensemble des ces ouverts est une topologie sur E, et que l'espace E ainsi défini est séparé.

Donc pour montrer que toute réunion d'ouverts est un ouvert, pas de problème.

Ensuite pour montrer que l'intersection de deux ouverts est un ouvert:

Soient O_1,\ O_2 deux ouverts.
Il existe une famille (V_{1,i})_{i \in I} d'ensembles élémentaires tels que O_1 = \bigcup_{i \in I} V_{1,i},

et il existe une famille (V_{2,j})_{j \in J} d'ensembles élémentaires tels que O_2 = \bigcup_{j \in J} V_{2,j}.

O_1 \cap O_2 = (\bigcup_{i \in I} V_{1,i})\cap (\bigcup_{j \in J} V_{2,j}) = \bigcup_{(i,j) \in I \times J} (V_{1,i} \cap V_{2,j}).

Ainsi il suffit de montrer que l'intersection de deux ensembles élémentaires est une réunion d'ensembles élémentaires.
Mais je ne vois pas comment montrer cette dernière proposition.

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 02:25

Bon je reposte le tout pour que ce soit plus clair, si un modo peut supprimer les premiers messages, merci!
En plus on n'a pas besoin de savoir qui de \epsilon et de \epsilon' est le plus petit .

soient V et W deux ensembles élémentaires, de "centres" respectifs f0 et f1, de "rayons" et ', associés respectivement aux points x1,..,xnet xn+1,...xn+m.

Soit X l'intersection de V et de W.
Il suffit en fait de montrer que pour tout f de X, il existe un ensemble élémentaire de centre f qui soit inclus dans X (car alors X sera la réunion d' ensembles élémentaires ayant pour centres chacun de ses points).

Soit donc f dans X.

On a pour tout i inférieur à n:

|f(xi)-f0(xi)| < , et pour tout i entre n+1 et n+m:

|f(xi)-f1(xi)| < '.

Notons 4$ \alpha=min\;(min_{1\le i\le n}[\epsilon-|f(x_i)-f_0(x_i)|],\;min_{n+1\le i\le n+m}[\epsilon'-|f(x_i)-f_1(x_i)|])

C'est un nombre positif.
Soit D l'ensemble élémentaire de centre f, de rayon \alpha, associé à la famille(x_i)_{1\le i\le n+m}.

On va montrer que D est inclus dans V et dans W, donc dans X, ce qui achèvera la démonstration.

Soit donc h dans D.
Pour tout i inférieur à n on a

4$|h(x_i)-f_0(x_i)|\le|h(x_i)-f(x_i)|+|f(x_i)-f_0(x_i)| \\ < \alpha+|f(x_i)-f_0(x_i)|\le\epsilon-|f(x_i)-f_0(x_i)|+|f(x_i)-f_0(x_i)|=\epsilon,

d'où h est dans V.
De même, on prouve qu'il est dans W, donc dans X.

Ainsi D est un ensemle élémentaire inclus dans X, donc toute intersection d'ensembles élémentaires est une réunion de tels ensembles.


Sauf erreur

Tigweg
Edit Kaiser

Posté par
1 Schumi 1re : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 08:31

Tu as la foi Tigweg. Retapé tout un post LaTexé, bravo!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 08:33

Bouton droit / Propriétés ?

Posté par
1 Schumi 1re : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 08:34

Je suis pas sur de comprendre ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 08:50

Bouton droit / Propriétés donne accès au code LaTeX d'un message déjà affiché.

Posté par
1 Schumi 1re : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 08:51

Ah trop cool! Merci beaucoup Nicolas.


Ayoub.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 08:52

Je t'en prie.

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:38

Bonjour à vous deux et merci au modo qui a supprimé les messages inutiles.

(Quelqu'un a-t-il compris ce qui s'est produit d'ailleurs??
J'avais écrit une longue formule en Latex directement à la suite de l'instruction d'agrandissement 4$, et ça m'a sorti à la place \frac{z-\overline z}{2i}, ce qui n'a strictement rien à voir! Cependant j'avais écrit la formule \frac{z-\overline z}{2i} dans un autre topic posté environ 30 minutes auparavant...)

Nicolas et Ayoub> Ni l'un ni l'autre!
J'ai simplement utilisé la touche "page précédente" plusieurs fois de suite et corrigé mon message initial avant de le reposter, tout bêtement!

Tigweg

Posté par
1 Schumi 1re : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:41

Moi, j'ai beau appuyer sur page précédente, la page revient, mais pas ce que j'avais écrit.

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:43

Ah bon?? Ben t'as pas de chance!
Ca doit être une option de ton navigateur!

Tigweg

Posté par
1 Schumi 1re : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:45

Je le sais par expérience. Dès fois, je fais un beau (et long) message en LaTex et tout, bien beau, bien comme il faut; et puis hop, fau mouvement et je reviens sur la page précédente. Et quand je reviens, il n'y a plus rien, faut tout retaper (ce que je ne fais jamais, étant tellement découragé)

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:47

Bonjour tout le monde, merci pour les explications, elles sont très claires tigweg

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:49

comment tu agrandis les formules tigweg? ça fait longtemps que je me le demande.

Posté par
1 Schumi 1re : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:51

Tu mets $ précédé d'un chiffre dans ton message LaTex. Vu les messages de Tigweg, je pense qu'il doit mettre un 3 au max.

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:53

Bonjour romu,

je t'en prie!J'ai vu que tu avais fait une brève réapparition sur l'île ce matin vers 3h, mais comme mon message initial bizarroïde était encore affiché, ça a dû te décourager!

romu>Oui,c'est assez déprimant, je connais cela aussi mais dans un autre contexte:
des fois, sans que je sache pourquoi, tout ce que j'avais écrit s'efface...



Je suis fou de rage, mais je retape... "100 fois sur le métier..."


Tigweg

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:54

ah d'accord, et le chiffre règle la taille en plus, merci 1 Schumi 1.

Posté par
1 Schumi 1re : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:54

Ouaip.

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:55

Non, je mettais 5$ jusqu'à présent, mais suite à une remarque narquoise de Kevin (alias infophile, que je salue ici), j'"utilise" du 4$

Posté par
1 Schumi 1re : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:55

Tu es myope, toi aussi?

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:56

oui, mes capacités de concentration étaient très diminuées à cette heure-ci.

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:56

Voilà,tu as tout compris!

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 14:56

romu>

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 18:33

Le fait que les points de E sont des fonctions est encore bien déroutant pour moi.

Pour montrer que la partie vide est ouverte, il suffit que j'exhibe deux ensembles élémentaires disjoints si je comprends bien.

Par contre pour montrer que E est ouvert, je ne peux pas dire comme ça que: E = \bigcup_{f \in E} V(f;\ \varepsilon;\ x_1,\cdots,x_n).

L'inclusion directe je pense qu'il n'y a pas de souci,
par contre pour l'inclusion inverse, j'en suis pas convaincu. J'ai l'impression que si on choisit pas bien \varepsilon et les points x_i, cette union risque de "dépasser" E.

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 18:39

En fait, je ne sais pas si la définition d'ensemble élémentaire que j'ai (celle que j'ai donné dans mon premier post) sous-entend que cet ensemble est inclus dans E ou non.

Posté par
Camélia Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 18:43

Saalut romu

Oui, bien sûr! l'ensemble est E. Un ensemble élémentaire est une partie de E. Donc, pas de souci pour dire que E est ouvert. Et il me semble que Tigweg (bonjour Tigweg ) a réglé la question!

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 18:50

Salut Camélia. D'accord, c'était juste pour une confirmation. Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 18:52

C'est la suite qui va être amusante! Bon courage!

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 18:58

Comment ça? tu connais la suite? c'est exo classique
C'est vrai qu'en même temps ce n'est que le a) (et ça va jusqu'au e)   )

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 19:36

Bonjour Camélia!

romu> Pour ce qui est de l'appartenance de l'ensemble vide à ta topologie, je dirais que c'est un "effet de bord" de leur définition en tant que réunion (quelconque) d'ensemnbles élémentaires.

Or par convention (valable dans tout monoïde me semble-t-il, mais Camélia nous le confirmera sans doute), une réunion indexée par l'ensemble vide est égale à l'élément neutre de l'opération interne "réunion", c'est-à-dire l'ensemble vide.

N'hésite pas à reposter sur le sujet en tous cas, ça a l'air intéressant.
Je me demande en particulier si cette topologie est métrisable, je ne me souviens plus du critère pour que ce soit le cas.


Tigweg

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 19:41

J'ai l'impression que l'intersection de deux ensembles élémentaires n'est jamais vide.

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 19:42

oups désolé j'avais pas vu le dernier post

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 19:43

Citation :
Je me demande en particulier si cette topologie est métrisable


Non, et ce sera l'avant derniere question .

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 19:50



En fait si on veut éviter de recourir à ce type de convention, il faut dire qu'on appelle ouverts de cette topologie l'ensemble vide et les réunions d'ensembles élémentaires.

Par ailleurs, deux ensembles élémentaires sont toujours d'intersection non vide, mais même si deux d'entre eux l'étaient, cela ne suffirait pas à conclure:

en effet, j'ai implicitement supposé dans ma démonstration que l'intersection de V et de W ne l'était pas puisque j'ai écrit: soit f dans VW = X.

Cette supposition n'enlève d'ailleurs rien à la généralité puisque si X=, et qu'on a prouvé que le vide était élément de la topologie, alors il n'y a rien à démontrer!

Mais encore une fois, je vois le fait que appartient à la topologie comme un effet de bord de sa définition.

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 19:52

Citation :
Non, et ce sera l'avant derniere question
> Méga cool, ça c'est du scoop !!

Bon, ben il ne te reste plus qu'à poster la suite de ton énoncé, romu!

Posté par
infophilere : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 20:48

Citation :
Non,  je mettais 5$ jusqu'à présent, mais suite à une remarque narquoise de Kevin (alias infophile, que je salue ici), j'"utilise" du 4$




Salut Greg

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 20:50

Salut Kevin, j'étais sûr que tu réagirais à l'appel de ton nom!

Posté par
infophilere : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 20:52

Mince alors, je suis tellement prévisible

(Cf Opérations sur les ensembles )

Bonne soirée

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 20:58

Oh purée, mais quelle mémoire d'éléphant, Kevin!

J'avais totalement oublié cette vieille discussion!
Bonne soirée à toi

Posté par
infophilere : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 21:00

C'était notre première discution je crois, merci encore pour l'aide que tu m'avais apportée, je reviendrais à l'attaque avec de l'algèbre linéaire

A+ sur l'

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 21:01

Ok, n'hésite pas!

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 21:50

Qu'appelles tu effet de bord Tigweg?

Sinon la suite de l'énoncé pour satisfaire les curieux :

b) Si l'on appelle simple toute fonction f partout nulle sur [0,1] sauf en un nombre fini de points, montrer que l'ensemble des fonctions simples est partout dense sur E.

c) Montrer qu'une fonction f qui est non nulle pour une infinité non-dénombrable de valeurs de x ne peut-être dans E limite d'une suite de fonctions simples.

d) En déduire que sur l'espace E on ne peut définir aucune métrique dont la topologie associée soit celle de E, autrement dit que E est non métrisable.

e) Montrer que toute fonction simple est limite d'une suite de fonctions continues; que la fonction g qui vaut 1 sur les rationnels et 0 ailleurs est limite d'une suite de fonctions simples; et que cependant g n'est pas limite d'une suite de fonctions continues.

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 08-07-07 à 22:20

Ok merci pour la suite!

Effet de bord=conséquence "ultime", "inattendue", "en poussant la logique jusque dans ses derniers recoins", "dommages collatéraux ".

Du moins je le comrends ainsi, cette expression appartient me semble-t-il au langage informatique.

Bonne soirée!

Tigweg

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 09-07-07 à 01:10

Citation :
Or par convention (valable dans tout monoïde me semble-t-il, mais Camélia nous le confirmera sans doute ), une réunion indexée par l'ensemble vide est égale à l'élément neutre de l'opération interne "réunion", c'est-à-dire l'ensemble vide.


Il me semble que cette convention est établie pour toute opération ayant un élément neutre, non?

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 09-07-07 à 01:13

Voilà, et c'est justement la particularité des monoïdes que d'avoir un élément neutre (en plus de jouir d'une loi de composition interne associative).

Tigweg

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 09-07-07 à 01:22

Tu veux dire qu'il n'y aurait pas de loi intéressante qui ne soit pas associative, admettant un élément neutre? (juste pour la culture )

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 09-07-07 à 01:24

En tout cas, je prends la convention et je passe à la séparation.

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 09-07-07 à 01:30

Il me semble que l'associativité est le minimum qu'on puisse exiger d'une lci.
Dans ce cas on parle de magma, mais on n'exige pas l'existence d'un neutre.
Je crois que les magmas sont très peu étudiés en tant que tel car leur structure n'est pas assez riche.

A mon avis (mais des gens plus calés que moi pourront te répondre avec plus de certitude), si tu supprimes l'associativité, et que tu exiges un neutre, tu ne peux pas faire grand-chose de ta loi.

A confirmer!

Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : topologie de la convergence simple 09-07-07 à 01:31

Ca, c'est facile (réglé en 2 ou 3 lignes!)

Posté par
romure : topologie de la convergence simple 09-07-07 à 01:43

ah ok!

En fait, je n'avais pas ces définitions là.
J'avais appris qu'un magma est un ensemble muni d'une loi de composition,
et après on voit l'associativité, pour étudier des magmas associatifs (alias demi-groupes ou monoïdes; dans ma définition de monoïde, il n'y a pas d'élément neutre), puis on voit l'élément neutre.
C'est pour, ça je croyais que l'argument essentiel caractérisant un monoïde c'était l'associativité.

Mais apparemment c'est juste une question de choix des définitions.

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