Ah en effet j'ai confondu pour les magmas:
en fait, je voulais parler des magmas associatifs.

En revanche, Wikipédia donne bien comme définition d'un monoïde un magma associatif doté d'un élément neutre.

Cela dit,

Tu en es où? Je peux déjà te dire que la densité dans E des fonctons simples n'est pas bien méchante non plus, il suffit d'écrire Au fait c'est un travail à rendre ou tu fais ça pour t'entraîner à l'an prochain?

La b) ne me semble pas bien difficile non plus.

Je crois avoir trouvé un plan:

je prends une fonction de ,

je considère un ensemble élémentaire quelconque de (les ensembles élémentaires de centre constituant une base de voisinages ouverts de ),

et je construis une fonction simple prenant ses valeurs non nulles identiques à celles de sur les .

Il me semble qu'ainsi j'aurai prouvé la densité, sauf erreur.

Oui, tout-à-fait!
Cela prouve en effet que tout voisinage ouvert de tout f de E rencontre les fonctions simples, donc que celles-ci sont denses dans celui-là!

romu le livre de topo c'est celui de Choquet?

En fait dans le chapitre des convergences de suites de fonctions et des convergences de famille de fonctions suivant une base de filtre, n'a pas voulu s'étendre sur la topologie de la convergence simple, il renvoie donc à cet exercice.

Oui , c'est celui de Choquet.

Ah bon??
Quel courage!
Tu as dû faire des études de maths quand même, tu n'as pas tout appris tout seul, rassure-moi!

Ok romu, moi aussi je lis  le chapitre sur les filtres mais j'ai pas trop avancé

Enfin j'ai quand même passé une UE où je devais faire un cours de topo suivi d'un cours de fonctions numériques en m'appuyant sur ce bouquin, mais en expliquant avec mes propres mots à l'écrit et à l'oral.
Ca s'est bien passé, je remercie d'ailleurs l'équipe du forum, particulièrement Cauchy, Camélia et Kaiser qui m'ont énormèment aidé à débroussailler ces pages de cours parfois obscures.

Une UE?? Kézaco?
Je ne connais a priori pas d'autre situation que l'oral d'un concours de recrutement d'enseignants où on peut être amené à faire une leçon!

Tu fais tout ça par pure passion ou tu envisages de passer les concours pour être prof, au fait(si ce n'est pas indiscret bien-sûr!)

Cauchy >> celui du chapitre I ou celui du II ?

Une unité d'enseignement

Et content d'avoir pu être utile

UE = unité d'enseignement, une matière quoi, où on devait faire un projet.

prof ou n'importe quoi tant qu'il y a des maths (si possible pas seulement appliquée ).

En fait j'ai pas le livre que t'as, mais les cours de Choquet à la Sorbonne dans les années 70(mais ça doit être assez proche),le cours c'est théorie des fonctions et il y a deux parties, structures topologiques puis structures uniformes.

La ça parle de bases de filtre, ultrafiltre et convergence où j'en suis

Ah ok c'est original!

après je suis pas super renseigné sur les débouchés.
J'accroche pas trop avec l'ingénieurie, l'enseignement j'adore ça, la recherche je pense pas avoir les capacités de pouvoir y arriver.
La cryptographie ça avait l'air sympa, j'aimais bien mais je me suis pas vraiment renseigné sur le cursus à suivre.
En attendant les maths c'est un passe-temps sympa, comme un jeu, au moins on s'ennuie jamais, il y a toujours quelque chose à chercher.

C'est exactement ce que je dis à ma copine qui ne comprend pas mon engouement(que dis-je:ma passion!) pour cette discipline: elle me prend pour un fou quand elle me voit en faire pour le plaisir!

Cela dit, elle ne comprend pas non plus que les "maths" que j'enseigne n'en sont pas(!), et que c'est justement parce que mon job me prend tout mon temps que je n'ai pas le temps de faire des vraies maths pendant l'année scolaire, et que du coup je me rattrape quad les cours sont finis!

Mais ça, seul(e) un(e) passionné(e) peut le comprendre!

Oh purée t'es courageux!
Du coup je m'en veux de te faire perdre ton temps en inutiles verbiages, je ferais mieux de faire des maths avec toi!

Tigweg >> tu enseignes dans quel genre d'établissement?

Lol...Mais tu AS gagné le gros lot,justement!

J'enseigne en Lycée depuis deux ans, après 4 ans de Collège

Sinon je viens de trouver la question c (et du coup la d, qui en est un corollaire immédiat)
Dis-moi si tu veux une indication ou si ça va!

encore du temps pour chercher, s'il te plaît.

OK!

Une indication tout de même: c'est joli!

^{et plus simple que ce qu'on pourrait imaginer à la lecture de l'énoncé}

Je crois avoir une idée.

Soit une fonction dans telle qu'il existe une suite de fonctions simples , et .

On pose , et .

est au plus dénombrable.
Et là je pense qu'il me reste à montrer que , si je ne me suis pas trompé.

Exactement!
C'est ainsi que je l'ai fait, et je peux te dire que tu as fait le plus difficile
Moi je n'ai plus qu'à prouver que la fonction indicatrice de n'est pas limite de fonctions continues, mais je bloque, cela me paraît contradictoire avec les deux questions d'avant...

Salut,
Tigweg -> que dire de l'ensemble des points de continuité d'une limite de suite de fonctions continues dans un espace complet ?

Salut otto,

si ça peut rassurer, je viens de vérifier j'ai bien copié toutes les questions.

Salut otto,

je ne sais pas si tu as vu, mais la topologie choisie n'est pas la topologie usuelle
L'espace obtenu n'est même pas métrisable!

Je n'ai pas lu tout le fil effectivement, mais tu cherches bien à montrer que l'indicatrice de Q n'est pas limite simple de suite de fonctions continues, n'est-ce pas ?

Oui, mais pour une topologie bien particulière dans l'ensemble des fonctions de [0;1] dans lui-même.
A moins que tu aies un résultat général qui ne dépende que de la topologie de [0;1] ?

Oui, mais pour une topologie bien particulière dans l'ensemble des fonctions de [0;1] dans lui-même.

Je ne comprend pas, c'est la topologie de la convergence simple ou pas ?

On a le théorème de la limite simple de Baire, qui dit que si tu as une suite de fonctions continues de X vers Y, Y complet, qui converge simplement vers une fonction f, alors f est continue sur un ensemble dense de Y. (même un G delta je crois)

Notamment, l'indicatrice de Q est discontinue en tout point.

aurais-je mal choisi le titre pour le topic?
C'est quoi la topologie usuelle de ?

Pour la d), j'ai un peu de mal (je suis dessus depuis 5 minutes ).


En raisonnant par l'absurde, je suppose qu'il existe une distance , et que la topologie associée à cette distance coïncide avec celle de la question a).

Les ensembles élémentaires forme une base pour cette topologie. Les boules ouvertes associées à aussi.

Je sais qu'une base définit une unique topologie, mais une topologie admet-elle une unique base?
Si c'est le cas cela signifie qu'un ensemble élémentaire est une boule ouverte pour la distance . Sinon je m'égare.

Enfin pour la premiere de la e), celle avant l'indicatrice de ,
il me semble que je pourrai procéder de façon similaire à ce que m'avait dit Camélia dans ce topic: enveloppe inférieure,
pour construire la suite de fonctions continues qui tend vers une fonction simple donnée.

otto>Tu as raison, je n'avais plus à l'esprit que cette topologie définissait la convergence simple.
Cependant on a montré auparavant que l'indicatrice de Q, que je vais noter f, est limite d'une suite de fonctions simples, et que toute fonction simple est elle-même limite d'une suite de fonctions continues.

Où est l'erreur dans le raisonnement suivant:

"Tout voisinage V de f contient une fonction simple g.Il existe un voisinage W de g inclus dans V(question 1).W contient une fonction continue h.Donc tout voisinage de f contient une fonction continue"

Bon j'ai trouvé en l'écrivant!
Cela ne prouve pas qu'il y a une suite de fct continues convergeant vers f, puisque l'espace n'est pas métrisable.C'est ça?

romu>Si l'espace était métrisable, alors la densité des fonctions simples impliquerait que toute fonction est limite d'une suite de fonctions simples, en contradiction avec c).

Euh je commence à fatiguer, je t'avoue ne pas avoir le courage de lire cet autre fil
En revanche je peux te donner ce à quoi je pensais:

Donnons-nous une fonction simple f, et appelons les points d'image non nulle par f.
Pour tout n, tu peux considérer la fonction f_n affine par morceaux et continue qui vaut 0 partout sauf dans des intervalles de longueur 1/n centrés en les x_i où sa courbe est une réunion de deux segments joignant le point à l'axe des abscisses.

Il est très simple ensuite(en appliquant la définition) de prouver que f_n tend vers f.

Cependant on a montré auparavant que l'indicatrice de Q, que je vais noter f, est limite d'une suite de fonctions simples, et que toute fonction simple est elle-même limite d'une suite de fonctions continues.
C'est faux.
Preuve en est f qui justement est une fonction simple et n'est pas limite simple de fonctions continues.

Non, une fonction simple est définie dans l'énoncé comme une fonction s'annulant partout, sauf en un nombre fini de points.

Si on nous change les définitions en cours de route, ça n'ira pas alors
Ok, traditionnellement, une fonction est simple si son image est finie.

voui il y a trop de notions de fonctins simples en maths .

Qu'en penses-tu otto (si ça ne t'embête pas!) ?
Ca ne m'embete pas, mais je n'ai rien suivi du post et ne suis plus trop familier avec cette topologie que je n'ai vue qu'une seule fois en détails, donc je ne pourrais pas trop aider ici.

En fait oui c'est clair, c'est comme le passage de la qestion c à la question d:

les fonctions simples sont denses dans E, donc même si f est non nulle en un nombre non dénombrable de points, tout voisinage V de f contient une fonction simple, et pourtant f n'est limite d'aucune suite de fonctions simples. ee

Il faut vraiment prendre son intuition à rebrousse-poil avec les topologies non-métrisables!