Bonjour mouss33

Effectivement, c'est la définition du sup.
En effet, par définition du sup, pour tout , il existe x et y tels que .

En prenant avec n entier naturel non nul, il existe et tel que

ainsi les suites et vérifient (théorème des gendarmes).

Kaiser

en utilisant la définition du sup on peut dire :
   pour tout e, il existe x,y dans A tel que :
      d(x,y) est dans [diam(A)-e,diam(A)]
donc pour tout n dans N, il existe xn, yn tel que :
   d(xn,yn) est dans [diam(A)-1/n,diam(A)]
une telle suite (xn,yn) vérifie d(xn,yn) -> diam(A)

ah oui d'accord merci a vous deux! moi j'avais pas du tout cette définition du sup..c'est pour ca que j'arrivais pas a aboutir!

Pour ma part, je t'en prie !

Il est très important de comprendre la définition et les caractérisations de la borne supérieure. Je te suggère de bosser ce document :

en fait moi la seul défintion de la borne sup que j'avais est : c'est le plus petit des majorants.

et a partir cette définition, je ne voyais pas comment aboutir!

merci pour le document stokastik.y'a des trucs que je ne comprends pas mais la partie sur la borne sup est hyper bien expliqué

bon il y a encore quelque chose que je ne comprends pas dans mon exo!
en fait on doit montrer que diam(A U B)<=diam(A)+diam(B) + dist (A,B) avec dist(A,B)=inf(d(a,b),a appartenant à A et b appartenant à B)

on étudie d'abord le cas ou x et y appartiennent soit à A soit à B.ce cas la est facile

pour le 2ième cas, on prend x dans A et y dans B

par définition de l'inf, on dit que d(a,b)<dist(A,B)+ epsilon avec epsilon positif strictement

ensuite on a d(x,y)<=d(x,a)+d(a,b)+d(b,y)
donc d(x,y)<=d(x,a)+d(b,y)+dist(A,B)+epsilon
jusque la j'ai compris

et après il met que diam(A U B)<=diam(A)+diam(B) + dist (A,B)+epsilon .le probleme c'est que epsilon est positif strictement donc a partir de cette inégalité, on a pas forcément :
diam(A U B)<=diam(A)+diam(B) + dist (A,B)

et donc je ne vois pas comment conclure!

epsilon=1/n mon chere.

et alors mon brave?

1/n est quand toujours strictement positif!

il y a que par passage a la limite que le espilon=1/n s'enleve

justement,par passage à la limite tu as bien l'inégalité voulue,je vois pas ou est le soucis...?!

le souci c'est que ce n'est pas marqué sur ma feuille qu'on passe a la limite...!!!

sur la mienne non plus, mais je sais pas pour une fois c'était pas trop dur que le epsilon était un truc du positif qui tendait vers 0 comme 1/n....enfin voila quoi.

pourquoi on a lim d(x,a)=sup(d(x,a))?

et dans la limite c'est quoi qu'il faut faire tendre vers quoi?

ça veut dire quoi ce que tu viens d'écrire?

lol!pourquoi on a lim d(x,a)=sup(d(x,a))?

je sais pas si c'est moi mais je crosiq ue t'as mal compris un truc:

tu as ça:

diam(A U B)<=diam(A)+diam(B) + dist (A,B)+epsilon

dans ce truc tu remplace epsilon par 1/n qui est positif et qui tend vers 0 lorque n tend vers 0
et le reste des trucs ne dépends pas de n...sauf erreur

pardon n->l'infini!!!

c'est quoi ton x et ton a je comprend pas ce que tu veux dire!

ah bé voila! merci beaucoup! t'as répondu a mes 2 questions a la fois!

une derniere choses: comment tu passes de d(x,y)<=d(x,a)+d(b,y)+dist(A,B)+epsilon
à diam(A U B)<=diam(A)+diam(B) + dist (A,B)+epsilon ?

pour l'exo 13, le prof il a fait un truc gavé bizarre.pour montrer que 2) implique 3),il a supposé 3 et il a montré 2)
alors que normalement,c'est pas ca qu'il faut faire...

bouhh c'est compliqué tes notations...j'ai l'impression ta recopié ce qu'avait mis le prof au tableau sans rien pigé!!


on a: x et y appartiennent à A union B
x dans A,y dans B
Ensuite tu dis ça:
quelque soit epsilon positif, il existe a dans A tel que d(a,x)<=d(x,A)+epsilon
de meme pour B:
d(b,y)<=d(y,B)+epsilon

donc tu as:

d(x,y)=d(A,B)<=d(x,a)+d(a,b)+d(b,y)<=d(x,A)+d(y,B)+d(a,b)+2epsilon
or on est d'accord que d(a,b)=d(A,B) car a dasn A et b dans B...bon et aprés si j'ai bien suivi le truc tu passes à la borne sup pour avoir les diamétres...

c'est bon?

(l'exo 13,je l'ai pas refait parce que ça n'apporte pas grand chose,ces équivalences,je les ais apprises et puis voila...)

oui c'est exact je recopie dans jamais rien comprendre!j'ai toujours fait ca! et après la veille du devoir je panique parce que je comprends rien!

ok pour l'exo 13! en tout cas merci a toi d'avoir pris le temps de m'expliqué tout ca!c'est bon maitenant j'ai compris!

Deux rien!!! continue à poser des questions ça me fait réviser!!

ok je continue a réviser et je posterais dans ce topic ce que je ne comprends pas!

ok bah moi aussi je poursuis mes révisions,je pense que je posterais dans la journée(je sais pas quand un truc sur les espaces complet ou/et banach)
Bonne révision et n'hésite pas si t'as des questions,c'est mieux d'avoir revu certains trucs.

thanks!toi aussi!

petite question:pourquoi Abarre tel que d(,  ???

mes aieux! je ne manie pas encore bien le latex !

j'ai oublié de préciser x'n appartient à A

parce que si xn appartient à A(barre),ça veut dire que xn est dans l'adhérence de A,ça veut dire que (sauf erreur grave) que xn est limite d'une suite de A,donc il existe x'n dans A tel qu'on ais ce que tu as.

ok merci!

Deux rien!! elles sont symps tes questions!!

c'est ironique ou pas?

non non,elles sont bien,ça fait revoir les trucs comme ça,continue comme ça,on commence à etre chaud pour le ds

lol!

toujours dans l'exo 7 de la feuille 2,a la question c, je comprend tout ce qu'on fait sauf la ligne ou il a mis que sup{d(x,y),x et y A} >= à diam(Abarre)

je comprend pas comment il en déduit ca d'après l'inégalité d'avant

pour ceux qui voudrait comprendre de quoi il s'agit:

on a A une partie de E un espace métrique.
on veut montrer que diam(Adh(A))=diam(A).

Pour cela on a tout d'abord:

A C Adh(A) donc diam(A)>=diam(Adh(A))

Ensuite on veux montrer l'inégalité dans l'autre sens.

On considere xn dans Adh(A) donc il exite x'n dans A tel que:

pour tout epsilon>0: d(xn,x'n)<epsilon.

de meme on considere yn une suite de Adh(A),il existe donc y'n dans a tel que pour tout epsilon'>0 on a:

d(yn,y'n)<epsilon'

On a alors ensuite:

d(xn,yn)<=d(xn,x'n)+d(x'n,y'n)+d(y'n,yn)<=epsilon+epsilon'+d(x'n,y'n)
on prend epsilon=epsilon'=1/n >0 et ->0 en +oo.

d'ou on a:

d(xn,yn)-d(x'n,y'n)<E(=2/n)

et la bah tu prend le sup pour avoir les diametres:
on a sup(d(xn,yn))=diam(A) et sup(d(x'n,y'n))=diam(Adh(A)) d'ou l'inégalité dans l'autre sens et finalement l'égalité.

(désolé du retard,j'ai du le refaire j'ai pommé ma feuile)

(moi j'ai une question sotte...commen montré qu'une boule ouverte est fermé?)

ca donne quoi quand tu prend le sup de d(xn,yn)-d(x'n,y'n)<E?
normalement tu peux pas prendre le sup séparement t'es obligé de prendre sup {d(xn,yn)-d(x'n,y'n)} non?

une boule ouverte fermé?t'es sur que c'est ca?

euhh attend...on a d(xn,yn)<d(x'n,y'n)+E avec E->0 qd n->+oo

tu prend le sup de chaque coté de l'inégalité.
Sauf erreur.

oui c'est Kaiser qui m'a dit ça a la fin d'un exo,il m'a dit tu te sert que toute boule fermé est ouverte et réciproquement(la réciproque je suis ok)

ah oui ok!merci!
moi je sais juste montré que toute boule ouverte est inclus dans une boule fermé!

la je dois aller chercher mes parents a la gare (comme si j'avais que ca  a faire....) donc je reviendrais tout a l'heure!

ok bonne route,
ahh bon donc si une boule ouverte incluse d

ans une boule fermé c'est que la boule fermé est ouverte puisque la boule ouverte est ouverte.
ok c'est bon:

Boule fermé=Boule ouverte + sphere. donc boule ouverte inclus dans boule fermé donc boule fermé est ouverte!

Merci!

yé!!!so good!

et oui,of course!!
aller à tout à l'heure,continue de poser tes questions!!

me revoila!avec une nouvelle question exercice 17 question c)
on arrive a déduire que N1(P)>= alpha mais on veut que l'inf (N1(P))=alpha et ca on l'a pas montrer...