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Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 00:53

Bon ben ça doit etre ça

La preuve que j'ai vu est bien plus longue.

Posté par
fusionfroidere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 00:55

Rouliane est-ce que t'as fait les exos classiques genre : montrer que toute boule ouverte est un ouvert ?

Ils sont très intéressants et indispensable...

Posté par
Cauchyre : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 00:55

Donne ta preuve pour voir

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 00:59

Non FF j'ai pas fait. En fait dans les exos de Gourdon, y'a aucun exo d'application  de ce type, mais je veux bien que tu postes vite fait si t'as le temps et que c'est pas trop long quelques exos d'applications de ce type.

Cauchy, je poste ça dans la soirée ( d'ici peu )

Posté par
fusionfroidere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 01:00

Je pourrai t'en poster demain matin si tu veux : je me lève tôt (ça promet)

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 01:01

ok, merci.

Demain matin, je file un cours de maths, mais dès 11h je serai là

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 01:01

t'as les gourdon, FF ? Perso je peux plus m'en passer...

Posté par
Cauchyre : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 01:07

Bonne nuit à vous

Posté par
fusionfroidere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 01:09

Non Rouliane moi j'utilise les dunod je crois.

Posté par
fusionfroidere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 01:09

Buena noche cauchy !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 01:12

Bonsoir ;

Citation :
"Soit A\subsetIR tel que tout point de A est isolé dans A. Montrer que A est au plus dénombrable."

L'ensemble 3$\fbox{D=\{\hspace{5} ]r-\varepsilon,r+\varepsilon[\hspace{5}/\hspace{5}(r,\varepsilon)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}_+^*\hspace{5}\}} est dénombrable puisqu'en bijection avec \mathbb{Q}\times\mathbb{Q}_+^* ,
Vu que tous les points de A sont isolés dans A et en utilisant la densité de \mathbb{Q} dans \mathbb{R} on a ,
3$\fbox{(\forall a\in A)\hspace{5}(\exists(r_a,\varepsilon_a)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}_+^*)\hspace{5}/\hspace{5}]r_a-\varepsilon_a,r_a+\varepsilon_a[\cap A=\{a\}} l'application 3$\fbox{A\to D\\a\to(r_a,\varepsilon_a)} est alors injective (sauf erreur)

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 01:14

Bonne nuit Cauchy

C'est ça Ehlor, je posterai demain la solution qui est selon le même principe, mais plus détaillée ( dans le sens plus compréhensible si on maitrise pas trop tout ça )

Posté par
fusionfroidere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 13:06

En voilà :

*Montrer que toute boule ouverte est un ouvert
*Montrer que toute boule fermée est un fermé
*Soit I un intervalle de R. Montrer que I est un ouvert de R si et seulement si c'est un intervalle ouvert. Sous quelles conditions I est-il un fermé de R ?

A+

Posté par
Camélia Correcteurre : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 14:43

Bonjour
Je n'ai pas tout lu, mais j'ai vu que vous avez prouvé que si A et B sont ouverts, A+B est ouvert. Pour compléter: trouver deux fermés de R tels que A+B ne soit pas fermé.
(J'ai mis un nouveau topic pour vous).

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 14:50

Merci FF.

Je poste ma solution pour montrer que toute boule ouverte est un ouvert.

Soit 3$ B(x, \rho) une boule ouverte.

Montrons que pour tout 3$ y \in B(x, \rho) , il existe r > 0, 3$ B(y,r) \subset B(x,\rho).

Soit 3$ y \in B(x, \rho). On a alors 3$ d(x,y) < \rho. Je vais montrer que 3$ B(y,\rho) \subset B(x,\rho).

Soit 3$ z \in B(y,\rho) . Alors 3$ d(y,z) < \rho. D'où 3$ d(y,x)+d(x,z) < \rho, c'est à dire 3$ d(x,z) < \rho - d(y,x), donc 3$ d(x,z) < \rho . Finalement, 3$ z \in B(x,\rho).

Voilà, je sais pas si c'est juste, ça me parait un peu farfelu, mais bon ...

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 14:50

Merci Camélia "d'alimenter" ce topic

Posté par
Camélia Correcteurre : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 14:54

Rebonjour
Ta dernière démonstration ne va pas. Si tu prends dans R, B(0,1), tu va pas nous faire croire que B(1/2,1) est contenu dedans! Fais un dessin! Indication: montre que si r<-d(x,y), on a bien B(y,r)B(x,).

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 14:57

J'étais arrivé à ça en effet r< -d(x,y), puis je me suis dit je vais prendre r= et ça marchera.

Mais mon raisonnement est correct sinon ? ( je parle pas de la fin, mais du début, surtout au niveau des quantificateurs et de l'organisation de la démo )

Posté par
Camélia Correcteurre : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 14:59

Oui, le principe est bon; c'est bien dans cet ordre qu'on prend les choses!

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 15:08

Merci !

Posté par
Cauchyre : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 15:34

Bonjour,

par contre A fermé et B compact implique A+B fermé.

Posté par
fusionfroidere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 16:01

Rouliane fait un dessin et normalement ça roule !

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 22:58

Je t'avais dit que j'étais nul en topo

Sinon, pour montrer qu'une boule ouverte est un fermé, je montre que son complémentaire est ouvert, et je trouve 3$ r > \rho- d(x,y), c'est juste ?

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 22:59

je voulais dire qu'une boule fermée ...

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 23:08

non je dis n'importe quoi ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : [Topologie] here we go ! 07-03-07 à 23:30

Bonsoir ;
Dans \mathbb{R}^2 euclidien canonique , \fbox{A=\{(x,0)\hspace{5}/\hspace{5}x\in\mathbb{R}\}\\B=\{(y,\frac{1}{y})\hspace{5}/\hspace{5}y\in\mathbb{R}_+^*\}} A et B sont des fermés mais A+B ne l'est pas vu que par exemple (0,0) n'est pas dans A+B tout en lui étant adhérent (sauf erreur)

Posté par
Camélia Correcteurre : [Topologie] here we go ! 08-03-07 à 17:05

L'exemple d'elhor est juste.
Qui en a un dans R? (J'exagère, non?)

Posté par
ottore : [Topologie] here we go ! 08-03-07 à 17:11

Je n'ai pas vu si ca avait été mentionné, mais on peut ajouter que si l'un seulement des deux est compact, alors la somme est fermée

Posté par
Cauchyre : [Topologie] here we go ! 08-03-07 à 18:55

Salut otto je l'ai mentionné plus haut

Dans R,tu avais proposé celui ci Camelia il y a quelque temps,

A={k+1/k,k entier naturel},B={-k,k entier naturel}

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 08-03-07 à 23:34

Bonsoir,

Je suis passé à la partie "suite dans un espace métrique" et j'ai du mal à capter ce qu'est une valeur d'adhérence d'une suite 3$ (x_n).

La définition est :

4$ (\forall \epsilon >0, \; \forall p \in \mathbb{N}, \; \exists n \ge p), \; d(x_n,a) < \epsilon

Je capte pas trop ce que ça signifie, si quelqu'un pouvait m'aider

Posté par
Cauchyre : [Topologie] here we go ! 08-03-07 à 23:36

Bonsoir,

en fait pour etre plus parlant une valeur d'adhérence d'une suite c'est la limite d'une sous-suite.

Tu le vois bien avec la définition tu peux construire une sous-suite de xn qui tend vers a car il existe des indices de plus en plus grand qui sont proches de a.

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 08-03-07 à 23:37

ah ok merci !
Je voyais bien que ça avait un lien avec une limite, mais je n'avais pas penséà la sous-suite.

Posté par
Cauchyre : [Topologie] here we go ! 08-03-07 à 23:39

Je sais pas ou tu as regardé la définition mais il doit y avoir un théoreme ensuite ou ils parlent de l'équivalence avec la définition en terme de sous-suites non?

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 08-03-07 à 23:40

effectivement c'est 2 lignes plus bas

Posté par
Cauchyre : [Topologie] here we go ! 08-03-07 à 23:45

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:13

Une petite question par rapport à la démo du théorème du point fixe.

On arrive, pour p<q, à 3$ d(x_p,x_q) \le \frac{k^p}{1-k} d(x_1,x_0).

Pourquoi peut-on alors en déduire qu'elle est de Cauchy ?
Il faudrait "exhiber" epsilon non ?

Posté par
ottore : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:17

Ca dépend de k.
si k<1 alors c'est trivial puisque la suite de droite (qui est une fonction de p) converge, donc il existe un rang, en fonction de p, à partir duquel il est plus petit que epsilon.

Posté par
Cauchyre : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:17

Oui tu peux détailler avec des epsilon mais on le voit car k^p tend vers 0 vu que k<1.

Pour tout eps>0 il existe un p tel que k^p/(1-k)d(x1,x0)<=eps.

Donc il existe un p tel que pour tout q>p etc...

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:19

ah oui merci à vous, c'est évident !

Posté par
ottore : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:20

Salut Cauchy !
Au passage, ca fait longtemps que je ne vois plus Kaiser sur le forum ...

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:21

Tiens c'est vrai ça !

Posté par
Cauchyre : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:22

Salut otto,

non ca fait pas si longtemps il y a une semaine ou deux il était souvent la

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:26

normallement il squatte tous les jours entre 16h00 et 00h00

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:26

Jeanseb se fait rare aussi

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:26

elle est bidon la démo du théorème du point fixe, je pensais que c'était un truc de fou moi  

Posté par
ottore : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:28

Il y'a autant de théorème de point fixe que tu le veux (ou presque ).
Attaque toi au théorème du point fixe de Brouwer ou de Banach, tu vas être surpris

Posté par
Cauchyre : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:29

Bidon c'est peut être exagéré mais pas tres difficile pour l'importance du théorème.

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:30

non mais je parlais du théorème évoqué plus haut.
Je sais que y'en a plein d'autres, qui sont bien chauds, mais celui là je pensais qu'il allait etre costaud mais là démo se fait toute seule en  fait ...

Posté par
Cauchyre : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:30

otto c'est celui la Banach non? Ou il y en a un autre ca serait pas étonnant

Posté par
Roulianere : [Topologie] here we go ! 09-03-07 à 00:31

Bidon est éxagéré bien sur, j'entendais par là que la démo se comprend facilement, mais bien sur je n'aurais jamais pu la trouver tout seul.
Mais ça reste assez basique vu le théorème !

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