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[Topologie] here we go !
Bonjour,
En ayant marre de rien capter en topo, je décide de m'y mettre sérieusement.
Evidemment, vu que j'y comprends rien, je vais avoir plein de questions idiotes à vous poser. 
Déjà, première question : j'ai du mal à discerner la différence entre un espace metrique et un espace normé.
Dans un espace metrique on définit une distance, dans un espace normé, on définit une norme.
Mais souvent on utilise d(x,y)=||x-y|| donc faut forcement qu'on ait défini auparavant une norme dans cette espace, non ?
En fait je demande ça parce que je suis en train de faire un exo pour montrer que dans un R-evn alors que dans un espace métrique, on a dans le cas général uniquement
Voilà, disons que globalement, pour moi c'est la même chose un espace métrique et un espace normé. Je "vois" pas la différence.
Merci de votre aide 
Salut Rouliane.
je n'ai pas de réponse a t'apporter mais comme ta question m'intéresse, je poste afin de pouvoir suivre le topic...
Bonjour Rouliane !
Alors : un espace métrique possède une distance, et un espace normé, une norme. Ca, ca va ...
Un espace normé est métrique, en posant d(x,y) = ||y-x|| où ||.|| est une norme.
En revanche un espace métrique n'est pas forcément normé, car il faut une notion d'espace vectoriel sur notre espace métrique pour parler de normes.
Merci Tealc.
Ca, ça va à peu près, j'avais bien compris qu'un espace métrique n'est pas forcément normée, mais qu'un espace normé est métrique, en posant d(x,y)=||x-y||.
Mais aurais-tu un exemple d'espace métrique, qui n'est pas normé, qu'on utilise ?
hum très bonne question.
Je pense que doit convenir, pour E un espace muni d'une tribu et d'une mesure. Mais j'ai un doute .
merci.
Ca va chercher loin là
C'est bien l'idée que je me fais de la topo c'est ultra théorique tout ça 
C'est ultra théorique mais ca a des débouchées partout !
Et c'est d'ailleurs les maths que je préfère la topo ! 
Ah mais c'est surement très utilisé, je dis pas le contraire, mais c'est abstrait je trouve, mais bon.
Une autre petite question : si F est fermé, on a d(x,F)=0 ssi .
J'imagine que ça ne marche pas dans le cas où F est ouvert, mais je vois pas pourquoi.
Le sens <= est toujours vrai, mais pourquoi n'a-t-on pas toujours le sens => ?
en fait, on a l'autre sens.
Si d(x, F) = 0, soit, il existe une suite xn d'éléments de F tels que (xn) tende vers x. Or, F est fermé donc la limite de (xn) (unique dans le cas d'un espace métrique) est dans F, et donc x est dans F.
ouuuups pardon.
un petit contre exemple : ]0,1[ et le point 0. La distance est nulle et pourtant 0 n'est pas dans ]0,1[.
Dans le cas d'un ouvert on peut avoir d(x,F)=0 sans que x soit dans F,on a plus précisément d(x,F)=0 ssi x est dans l'adhérence de F.
bon je n'ai encore pas répondu à la réponse. En fait, tous les points problématiques seront ceux du bord de l'ouvert (bord = adhérence de U privé de U), puisque par définition, ces points ne sont pas dans U, mais leur distance à U est nulle
Pour reprendre sur le premier exo,un espace vectoriel normé ca a pas de trous si tu veux alors que je peux mettre par exemple Z muni de la distance discrete qui est métrique mais pas un evn.
Ou si je considère par exemple je veux travailler sur une sphère je la munis d'une distance mais ca n'en fera pas un evn.
p-adique ? essaye pas de m'embrouiller
Plus sérieusement, je ne connais pas ce terme.
Merci pour les précisions. J'ai l'impression qu'on utilise souvent la distance discrète dans les espaces métrique, c'est comme ça d'ailleurs qu'on montre dans le premier exo qu'on a que l'inclusion et pas l'égalité.
Tu l'as fini?
Pour la distance p-adique:
Ca fait plusieurs fois que je me dit que je vais m'y mettre et je m'y suis pas encore mis
j'ai fini la première partie : , et j'ai montré qu'il y a pas forcément égalité.
La 2ème j'arrive à montrer pour ||x||<1 mais pas ||x||=1
Tu as une inclusion,il te reste à montrer que la boule fermée est incluse dans l'adhérence donc.
C'est la qu'on va se servir qu'on est dans un ev,tu prend x de norme 1,fait un dessin,quelque soit epsilon,tu dois pouvoir trouver un élément de la boule ouverte qui est à distance plus petite que ce epsilon de x.
L'idée est pour x fixé de trouver un point y qui rende ||x-y|| petit.
On a envie de prendre x-quelque chose de petit intuitivement mais il faut qu'on reste dans la boule.
Et bien on veut montrer que la boule fermée est dans l'adhérence de la boule ouverte.
Une caractérisation de l'adhérence est que pour un nombre aussi petit que l'on veut et un point de la boule fermée on arrive à trouver un point de la boule ouverte qui soit à distance plus petite que ce nombre.
Je connaissais pas cette caractérisation ( que j'ai du mal à comprendre d'ailleurs ).
Donc en gros, il faut trouver y ( dans la boule ouverte ? ) tel que || x-y|| < epsilon ?
Oui,
Si je prend un ensemble A alors etre dans l'adhérence ca veut dire etre pas trop loin en quelque sorte,si x est dans l'adhérence alors tu peux trouver des points de A aussi proches que tu veux de x.
C'est la qu'on se rend compte que ca rejoint la définition avec les suites,en effet si tu as une suite d'éléments de A qui converge vers x ca veut bien dire que tu as des points de A aussi proches que tu veux de x.
Réciproquement si tu pars de la premiere définition alors pour tout n tu peux trouver des points de A à distance inférieure à 1/n de x donc construire comme ceci une suite de points de A qui va converger vers x.
On je crois avoir compris : on veut montrer qu'un point de la boule ouverte est aussi pres que l'on veut d'un point de la boule fermé, c'est ça ?
Si pour tout point x de la boule fermée on peut trouver un point y de la boule ouverte aussi proche que l'on veut de ce point x.
Bon maintenant il faut le trouver ce y,tu vois un candidat?
N'oublies pas qu'on est dans un ev donc il y a stabilité par produit par un scalaire.
Ici on a pas trop le choix à priori on va se servir de x.
Si il est dans la boule ouverte,
||eps*x||=eps||x||<||x|| si on prend eps<1 mais de toute facon ce qui nous intéresse est pour eps petit.
Cependant ||x-eps*x|| n'est pas petit.
Je remonte ce topic pour savoir si quelqu'un pouvait me proposer quelques exos basiques de topologie ( j'ai pourtant abordé que les ouverts, fermés, intérieur ).
Merci
J'en profite pour en poster un pour qui veut s'entrainer:
Soit (E,d) un espace métrique.
Soit A 
E. Montrer que l'application de E 
R, x 
d(x,A) est continue sur E.
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