Bonjour

Je te fais remarquer que ni 0 ni ne sont dans ta bande.
En revanche, tu as aussi besoin de l'image de

Ensuite, comme au lycée! Ecris avec et regarde comment tu peux caractériser l'image.

Bonjour....

Imaginez la terre,

pole Sud en 0 et pole nord en

Partout sur la terre, on est "à plat"

Mais globalement on a une sphère....


Est-cela votre représentation ?

à mon avis, ce que vous aurez ce sera la partie du globe comprise entre un certain méridien et le pole nord.

faites le calcul et vous verrez.si z = x + i y avec 0<y<1
on a f(z) = ?

Bonjour,

Merci pour les réponses,

Camélia, oui en effet les points ne sont pas dans la bande.. Donc prenons l'image de l'infini qui est selon moi 1 (calcul de limite), et ensuite considérons quelques points dans ma bande cette fois, par exemple :

z1 = -1 + i/2

z2 = 1 + i/2

alors : (z1) = 3/5 + 4/5*i
(z2) = 3/5 - 4/5*i

Bon là du coup l'image de l'infini = 1 par exemple, comment savoir ce que ça signifie ? Pour ce qui est des images des points que j'ai choisi pareil, ça ne me donne pas grand chose.. Autant pour l'image d'un cercle ou de l'intérieur d'un cercle ça va, autant là je ne vois toujours pas (même si la méthode est un peu plus claire) comment déterminer "quelle forme" je vais obtenir..

Si tu prends tu as



Regarde l'image de la droite avec

Ah ok tu parlais de prendre z = x + iy directement et d'insérer ça dans mon expression de , du coup je me rends compte que ma partie réelle (partie réelle de ) sera toujours inférieure à 1 pour y = a entre 0 et 1.

Pour ce qui de la partie imaginaire, je ne vois pas trop quoi en déduire.. Ma solution serait Re() < 1 comme domaine image, mais avec sûrement autre chose, qui découlerait peut-être la partie imaginaire.. ou je fais erreur ?

Merci.

Eh bien, prends , avec , cherche le tel que et regarde s'il est ou non dans la bande!

Ok j'arrive à quelque chose * i = z, si a < 1, je ne peux pas déterminer si il est + grand ou plus petit que 1 ni si c'est négatif ou positif.. Ca va dépendre de b il me semble aussi..

Si tu fais de la géométrie :

...z 1/z = /|z|  correspond à la symétrie s : t suivie de l'inversion p de pole 0 et de puissance 1 .
(d'ailleurs s et p commutent )

...Si a ]0 , 1[ et si D_a = { x + ia | x } (la droite d'équation y = a si on veut) sa transformée par p est le cercle de diamètre [1/a , 0] privé de 0 . C'est à savoir !

Comme z iz , z -z et z 1 + z sont des transformations simples que tu dois connaître qui transforme un cercle en un autre cercle  , (D_a) est un cercle facile à identifier avec ce que je t'ai raconté .

2 corrections :
.. z 1/z = |z|² au lieu de  z 1/z = |z| .

..(D_a) est un cercle moins un de ses points .

Salut kybjm ! Merci pour la réponse.

J'aimerais cependant récapituler, car là je ne comprends plus rien.

Reprenons le problème au début : je dessine mon domaine et j'ai ma transformation sous les yeux : = (z - i)/z.

Quelle est en fait la première étape ?

Je pensais commencer par chercher l'image de l'axe Y dans le nouveau plan oméga. L'axe Y passant par 0 et 0 étant un point pole, l'image de l'axe est censé être une droite non ? (D'après mon cours, si une droite ou un cercle passe par un point pôle de la transformation Moebius alors son image est une droite).

Jusque là est-ce correct ? (Et pardon, mais je ne comprends pas tout ce que tu as écris, d'où commences-tu exactement ?)

Merci d'avance..

La transformation que tu as sous tes yeux est l'application  z (z - i)/z = 1 -i.(1/z) de * vers .
La démarche normale est donc :
je me donne un z non nul , puis je fais telle et telle ....manipulations  pour fabriquer (z) .

Pourquoi commencer par "chercher l'image de l'axe Y" puisqu'on te demande de trouver l'image de U : = { x + iy | (x,y) ² et 0 < x < 1 }

Si tu veux des droites qui épuisent U , les D_a sont tout indiquées .

Hum comment ça fabriquer w(z) ? Justement la transformation est déjà donnée comme tu dis..

Ok donc admettons que je suive ton raisonnement, je remplace donc comme fait précédemment x + iy dans (z-i)/z

J'obtiens : (x² + y² - y - ix) / (x^2 + y^2), c'est à dire :


((x² + y² - y)/ (x^2 + y^2) -(ix)/ (x^2 + y^2)

avec 0 < y < 1, (pas x comme tu l'as écris par erreur, faute de frappe sûrement..).

Mais a partir de là je ne vois toujours pas quoi étudier exactement avec ça. Quelles sont mes conditions maintenant ? Je vois l'équation d'un cercle là : x² + y² - y... En fait je ne saisis pas ce que je dois poser comme conditions sur ce nombre complexe que j'obtiens..

Merci d'avance.

(Et que dire de ceci ? Autre méthode : http://math.stackexchange.com/questions/372284/image-of-a-strip)

Ce n'est pas une autre méthode... C'est la même menée à bout!

Euh pas vraiment.. Par exemple, lui commence bien par chercher les images des droites Im(z) = 0 et Im(z) = 1, même si elles ne sont pas dans la bandes.. Il me semble que c'est plus simples par la suite comme ça. Avec ce qu'on avait commencé à faire je vois pas vraiment comment aboutir.. Mais si tu dis que c'est la même chose je veux bien te croire !

En tout cas merci pour le coup de main, je pense avoir mieux compris. Je verrai par la suite sur  des exercices plus compliqués..

Si tu essayais de sortir en fonction de tu aurais ces conditions!

Bonjour.

Une méthode « géométrique », mais qui nécessite de connaître les inversions :

On obtient l'image d'un point en prenant son image par l'inversion de pôle O et de rapport 1, puis par une symétrie par rapport  à la droite des réels, puis une rotation de centre O et d'angle et enfin une translation de vecteur (1;0).