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Niveau terminale
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Trigo

Posté par
kichane77
28-03-22 à 20:11

Bonsoir mon professeur m'a donné ce problème ouvert avec pour énoncé situer M pour que IK soit maximal. Je ne vois pas par ou commencer.
Je pense qu'il faut exprimer IK comme fonction,  dériver puis trouver un maximum mais je ne sais pas comment m'y prendre.
Merci de m'aider

** Fichier supprimé **
quel intérêt de mettre un pdf qu'il faut ouvrir à part pour le lire ?
une image de la figure est tout aussi bien et visible dans le message même

surtout que de toute façon il manque l'énoncé ! (à recopier)

Trigo
image rapatriée

Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 20:11

et J c'est pi/3

Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 21:11

L'énoncé est marqué dans le premier message mais je vais le rappeler ; situer le point M telle que la distance IK soit maximale

Posté par
Leile
re : Trigo 28-03-22 à 21:17

bonjour,

J correspond à pi/3  : donc J est fixe ?
M est sur le cercle ?
K est défini comment ?
comment sont construits les différents points ?
Ne penses tu pas qu'il nous manque des bouts ?

Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 21:22


J est fixe
M est sur le cercle
K est défini comme le milieu de [MJ]

Posté par
Leile
re : Trigo 28-03-22 à 22:02

une piste de réflexion :
tu peux te placer dans le repère d'origine O, déterminer les coordonnées de J, noter que  les coordonnées de M vérifient l'équation du cercle, et exprimer IK²...


Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 22:47

Dans le repère centré en O
J(cos/3,sin/3)
M( cosx,sinx)C donc cos2x+sin2x=1
Je  ne comprends pas la suite

Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 23:01

Je crois avoir compris. Voici ma proposition
Nous savons que K est le milieu de MJ nous pouvons conclure sur ses coordonnées.
xk=(2cosx+1)/4
yk=(2sinx+3)/4
Donc on a IK= \frac{\sqrt{4cos^{2}x+4cosx+1}}{4}+\frac{\sqrt{4sin^{2}+4\sqrt{3}sinx+3}}{4}
Je tombe sur ça pouvez vous me dire si c'est juste puisque cela me semble un peu étrange à dériver
Merci encore

Posté par
Leile
re : Trigo 28-03-22 à 23:03

coordonnées de J : tu connais la valeur de cos pi/3   et sin pi/3

dans ce repère, x  fait référence aux abscisses, pas à une mesure d'angle..  ,
M( xM , yM) ou  M( cos a  ,  sin a).
xM ²  +  yM ²  =  1  

K est le milieu de MJ  tu peux écrire ses coordonnées en fonction de xM et yM

tu connais aussi les coordonnées de I
alors tu peux écrire   IK² ...

Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 23:05

oui mais est ce que vous trouvez la même fonction que moi ou c'est moi qui me suis trompé ?

Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 23:09

oula je pense m'être trompé j'ai utilisé les mauvaises coordonnées pour I je recommence de suite

Posté par
Leile
re : Trigo 28-03-22 à 23:09

si tu lis bien  mon message, je ne peux pas avoir la même que toi puisque x est une abscisse et non un angle.  On peut se libérer des cos et sin..
de plus, tu places mal les racines pour IK.
reste  sur IK², ça évitera les grandes racines carrées.
maximiser IK², revient à maximiser IK qui est une distance (donc positive).

Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 23:12

oui mais l'abscisse de M dans un cercle ce n'est pas cos(x) ?

Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 23:12

sinon je pose xM=cos(x) comme ca je me débarrasse des cos et sin

Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 23:15

Je trouve IK2=(\frac{2cosx+1}4{}-1)^2+(\frac{2sinx+\sqrt{3}}{4})^2

Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 23:17

Leile Je ne comprends pas comment me débarraser des cos et sin

Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 23:26

kichane77 @ 28-03-2022 à 23:15

Je trouve IK2=(\frac{2cosx+1}4{}-1)^2+(\frac{2sinx+\sqrt{3}}{4})^2

Posté par
Leile
re : Trigo 28-03-22 à 23:28

quand tu écris cos(x)  :  x est un angle !
Ici, tu t'es placé dans un repère, les x   sont des abscisses pas des angles !
xM =  cos (a)   si tu veux, mais pas cos(x)
plutot que d'écrire cos(a), je te propose d'écrire xM .

avec M( x ; y)

K( (2x  + 1 )/4  ;  (2y + V3)/4   )  
et
IK2=(\frac{2x-3}{4})^2+(\frac{2y+\sqrt{3}}{4})^2

Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 23:33

Merciii beaucoup.
Donc si j'ai IK2 qui s'exprime avec 2 variables x et y comment dériver.

Leile @ 28-03-2022 à 23:28

quand tu écris cos(x)  :  x est un angle !
Ici, tu t'es placé dans un repère, les x   sont des abscisses pas des angles !
xM =  cos (a)   si tu veux, mais pas cos(x)
plutot que d'écrire cos(a), je te propose d'écrire xM .

avec M( x ; y)

K( (2x  + 1 )/4  ;  (2y + V3)/4   )  
et
IK2=(\frac{2x-3}{4})^2+(\frac{2y+\sqrt{3}}{4})^2

Posté par
Leile
re : Trigo 28-03-22 à 23:37

ne cite pas les messages, c'est inutile.
Avant de dériver (par rapport à x), il faut remplacer y
en utilisant   x² + y² = 1..
donc développe un peu IK² ,   réduis ce que tu peux,  puis à la fin, tu remplaceras y  par   (1-x²).
tu vas voir, ca va se simplifier et tu pourras dériver.

Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 23:47

Je trouve
\frac{-12x+16+4\sqrt{1-x^{2}}*\sqrt{3}}{16}

C 'est ca pour f(x) ?

Posté par
Leile
re : Trigo 28-03-22 à 23:51

attends, je vérifie mon calcul, je ne trouve pas tout a fait pareil...

Posté par
Leile
re : Trigo 28-03-22 à 23:53

oui, c'est OK, tu peux simplifier par 4...

Posté par
kichane77
re : Trigo 28-03-22 à 23:59

Je trouve \frac{^{-3x+4+\sqrt{3-3x^{2}}}}{4}
je trouve ca et pour la dérivée

\frac{1}{4}*(-3+\frac{-6x}{2\sqrt{3-3x^{2})}}

Posté par
kichane77
re : Trigo 29-03-22 à 00:02

mais comment trouver le signe d'une telle fonction

Posté par
kichane77
re : Trigo 29-03-22 à 00:12

kichane77 @ 28-03-2022 à 23:59

Je trouve \frac{^{-3x+4+\sqrt{3-3x^{2}}}}{4}
je trouve ca et pour la dérivée

\frac{1}{4}*(-3+\frac{-6x}{2\sqrt{3-3x^{2})}}

Posté par
Leile
re : Trigo 29-03-22 à 00:12

f(x)=\frac{1}{4}(-3x + 4 + \sqrt{3}*\sqrt{1-x²)}

f(x)=\frac{-3x}{4} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{4}*\sqrt{1-x²}

là  quand tu dérives c'est plus simple.

Posté par
kichane77
re : Trigo 29-03-22 à 00:16

Je trouve \frac{-3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}*\frac{2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}

Posté par
Leile
re : Trigo 29-03-22 à 00:19

encore une fois, stp, ne cite pas les messages, c'est inutile.

f'(x)=\frac{-3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}* \frac{-x}{\sqrt{1-x²}}

tu factorises par  V3/4, tu mets sur meme dénominateur,
et tu obtiens au final
\frac{-\sqrt{3}*\sqrt{1-x²}-x}{\sqrt{1-x²}}

qui s'annule pour -(3-3²) = x

à résoudre pour trouver x

Posté par
Leile
re : Trigo 29-03-22 à 00:21

oups !  à la fin du message lire :
qui s'annule pour  -(3-3x²)=x

Posté par
kichane77
re : Trigo 29-03-22 à 00:23

Merciii beaucoup je reprendrai ça demain. Bonne soirée et merci encore

Posté par
Leile
re : Trigo 29-03-22 à 00:26

ok, à demain.
avant de partir, je te poste une figure :
quand M parcourt le cercle trigo,   K  décrit le cercle orange.
bonne nuit.

Trigo

Posté par
Leile
re : Trigo 29-03-22 à 00:31

sur la figure, IK est maximum quand il est confondu avec le diametre du petit cercle orange. IK est alors perpendiculaire à OJ et ..   OM  aussi !

Posté par
kichane77
re : Trigo 29-03-22 à 11:33

Leile Je trouve un maximum pour x=\frac{\sqrt{3}}{2}
Donc M(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}). C'est ça ?
car x2+y2+1

Donc y= \sqrt{1-x^{2}}

Posté par
lake
re : Trigo 29-03-22 à 11:40

Bonjour,

En l'absence de Leile :

  \sqrt{3-3x^2}=-x\Longleftrightarrow 3-3x^2=x^2\text{ avec }{\red x\leq 0}

Posté par
kichane77
re : Trigo 29-03-22 à 11:43

merci beaucoup, pour les coordonnées je lui demanderai lorsqu'elle sera revenu sauf si quelqu'un confirme ou infirme mes coordonnées

Posté par
kichane77
re : Trigo 29-03-22 à 11:56

M(-V3/2, 1/2)

Posté par
kichane77
re : Trigo 29-03-22 à 11:57

Ca a l'air de correspondre à la figure de Leile

Posté par
lake
re : Trigo 29-03-22 à 12:51

Oui, il y a un signe "-".

Je reposte la figure de Leile avec quelques détails suppléméntaires :

Trigo

K est l'image de M dans l'homothétie de centre J et de rapport \dfrac{1}{2}

Lorsque M décrit le cercle trigonométrique, K décrit le "petit" cercle.

Je vois une droite des milieux ...

Posté par
Leile
re : Trigo 29-03-22 à 12:52

bonjour,

en effet  M(-V3/2, 1/2)   avec  xM < 0   et yM >0

merci lake  d'avoir relayé !

Bonne journée à vous deux .

Posté par
lake
re : Trigo 29-03-22 à 12:53

Bonjour Leile !

Je te laisse poursuivre avec ta figure

Posté par
Leile
re : Trigo 29-03-22 à 12:54

lake, je dois partir là..
peux tu rester ?

Posté par
lake
re : Trigo 29-03-22 à 12:57

Oui, oui si besoin est

Posté par
Leile
re : Trigo 29-03-22 à 13:02

Merci  lake
calcul des coordonnées : c'est terminé, je pense.
kichane77 aura peut-être envie de creuser du côté des figures qui donnent une solution élégante, je trouve
Bonne journée.

Posté par
lake
re : Trigo 29-03-22 à 13:11

Oui, très élégante mais je ne suis pas sûr que kichane77 ait vu son intérêt.
Bonne journée

Posté par
kichane77
re : Trigo 29-03-22 à 13:12

Dernière question pourquoi x je st negatif ?

Posté par
kichane77
re : Trigo 29-03-22 à 13:13

Est *

Posté par
kichane77
re : Trigo 29-03-22 à 13:13

Pourquoi -V3/2 et pas V3/2

Posté par
lake
re : Trigo 29-03-22 à 13:18

\sqrt{A}=B\Longleftrightarrow A=B^2\text{  et  }B\geq 0

Ici :

\sqrt{3-3x^2}=-x\Longleftrightarrow 3-3x^2=x^2\text{  et  }-x\geq 0

  donc x\leq 0

Posté par
kichane77
re : Trigo 29-03-22 à 13:19

Merciii beaucoip

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