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Unicité du cardinal d'un ensemble
Posté par barbubabytoman
Bonjour à tous. Voilà, j'aimerais prouver que le cardinal d'un ensemble est unique. Question qui peut sembler un peu étrange à priori, mais pas tant triviale que ça pour moi.
Pour commencer, il faut savoir que je veux définir le cardinal d'un ensemble comme l'entier naturel
tel que
soit équipotent avec l'ensemble
.
J'ai donc proposé de prouver l'implication suivante, sans vraiment de succès: (où bij est l'ensemble des bijections de l'ensemble
dans l'ensemble
.
Citation :
Soit
un ensemble. On a alors l'implication
\in\mathbb{N}^{2},[)
bij\neq\emptyset\wedge)
bij![(E;N_{m})\neq\emptyset]\Rightarrow[n=m]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(E;N_{m})\neq\emptyset]\Rightarrow[n=m])
Soit
J'ai beau tourner le problème dans tous les sens, je tourne en rond justement.
Merci d'avance !
Bonsoir,
si tu as une bijection entre l'ensemble A et un ensemble B et une bijection entre l'ensemble A et un ensemble C, il est facile de construire une bijection entre B et C.
Oui, j'ai essayé de passer par une composée, mais je ne vois pas comment faire pour en conclure ce que je veux.
Par exemple, je pourrais faire le raisonnement suivant
On a que bij
donc ça marche dans l'autre sens par la réciproque, donc il existe
.
On a que bij
donc il existe
.
Donc , et est une bijection. Mais même avec ça, je ne vois pas comment prouver l'égalité.
Oui mais pour le prouver, je dois montrer qu'il existe m tel que deux n différents l'ont pour image. Mais pour ça, j'ai l'impression de tourner en rond en devant raisonner sur le nombre d'élément, sauf que justement je me l'interdis vu que je n'ai pas encore défini le cardinal d'un ensemble.
Si je comprend bien, tu as défini les entiers sans référence aux cardinaux.
Disons avec les axiomes de Peano.
Ton problème est de montrer que si il y a une bijection entre A={1,...,n} et B={1,...,m} alors m=n.
Je crois que l'on peut le faire par récurrence.
verdurin @ 29-07-2016 à 22:02
Si je comprend bien, tu as défini les entiers sans référence aux cardinaux.
Disons avec les axiomes de Peano.
Ton problème est de montrer que si il y a une bijection entre A={1,...,n} et B={1,...,m} alors m=n.
Si je comprend bien, tu as défini les entiers sans référence aux cardinaux.
Disons avec les axiomes de Peano.
Ton problème est de montrer que si il y a une bijection entre A={1,...,n} et B={1,...,m} alors m=n.
C'est exactement ça ! Donc je vais essayer par récurrence, mais le problème me semble assez corsé. Je reviendrai à vous si jamais je n'y arrive pas, merci encore !
Juste une remarque :
tu seras conduit à utiliser les entiers et les cardinaux « naïfs ».
Par exemple pour montrer qu'il n'y a pas de bijection entre {1} et {1 ; 2 }.
Imaginons que je veuille démontrer qu'il n'en existe pas entre et
.
Je dis: soit . On a alors
alors que
donc
n'est pas injective donc
n'est pas bijective donc il n'existe pas de bijection entre
et
.
Mais du coup je ne comprends pas cette histoire de cardinaux "naifs".
C'est exactement ça.
Tu as utilisé les «cardinaux naïfs » un et deux.
En un sens, ils se passent de définition.
On compte effectivement et il n'y a pas de problème.
Mais rien ne garanti qu'ils remplissent . Ce qui est un point de départ possible pour l'analyse non standard.
Hmm, je les ai construits dans le cadre de la théorie ZFC, du coup je leur ai bien donné une définition.
Mais du coup, et je suis désolé de ma faible compréhension des choses, je ne comprends pas ce que vous voulez dire par "rien ne garanti qu'ils remplissent .
Alors justement je me suis mis à lire un libre sur l'analyse non standard, et j'adore l'idée de départ ! Je me suis procuré Analyse infinitésimale de Jacques Blair et Valérie Henry, pensez-vous que c'est une bonne entrée en la matière ?
Et pour en revenir à la récurrence, j'ai du mal à démarrer.
Je me demande si je dois invoquer un certain avant de commencer ma récurrence, et donc que l'assertion que je vais démontrer sera en fonction de ce
là, ou si alors je dois faire une assertion qui sera
(sachant que dans les deux cas, c'est une récurrence sur
que je fais)
barbubabytoman @ 30-07-2016 à 18:14
Imaginons que je veuille démontrer qu'il n'en existe pas entre
et 
.
Je dis: soit
. On a alors =1=f(2))
alors que 
donc 
n'est pas injective donc n'est pas bijective donc il n'existe pas de bijection entre et .
Mais du coup je ne comprends pas cette histoire de cardinaux "naifs".
Imaginons que je veuille démontrer qu'il n'en existe pas entre
Je dis: soit
Mais du coup je ne comprends pas cette histoire de cardinaux "naifs".
Ta démonstration initialise la récurrence :
il n'y a pas de bijection entre
( Une légère adaptation étant utile. )
Ensuite on suppose
et on montre