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valeur d'adhérence
Bonjour à tous
Voici un nouveau problème et pour celui là je ne sais même pas comment commencer.
Soit u(n) une suite qui admet deux valeurs d'adhérence a et b alors toute valeur de [a,b] est aussi une valeur d' adhérence de la suite.
Encore un tout grand merci à ceux qui peuvent m'aider.
Ca me semble faux, regarde par exemple la suite (-1)^n, elle a deux valeurs dadhérence (1 et -1), et pourtant ce sont les deux seules, tous les rééls de [-1;1] ne sont pas des valeurs d'adhérence.
la FAQ du forumExcuse moi, je suis nouveau et je dois être très fatigué (le coté se rapproche et je tiens à le réussir). Voici l'énoncé correct.
Soit u(n) une suite réelle telle que lim (u(n+1) - u(n)) = 0 ET qui admet deux valeurs d'adhérence a et b. Montrer alors que toute valeur de l'intervalle est encore une valeur d'adhérence.
Y a-t-il moyen de changer le titre du premier message.
Grand merci et encore désolé pour cette erreur.
Bonjour à tous
spirou> regarde ici ! 
Est-elle de cauchy?
Y a-t-il moyen de changer le titre du premier message.
C'est fait !
Kaiser
merci pour tous ces renseignements. Je vais aller potasser et je te recontacte en cas de questions. Bonne soirée
bonjour
j'ai bien lu attentivement la démonstration d'elhor.A un certain moment on affirme que comme a est une valeur d'adhérence de la suite x(n), il existe un naturel N tel que si n>N on ait en valeur absolue x(n) - a < c- epsilon-a
N'est - ce pas vrai seulement pour les termes d'une sous-suite ?
Merci du temps consacré à me répondre.
Bonjour,
dixit spirou :
j'ai bien lu attentivement la démonstration d'elhor.
Ta remarque semble juste mais difficile de se prononcer de manière absolue sans le texte en question.
Maintenat, revenons au problème posé :
Soit u(n) une suite réelle telle que lim (u(n+1) - u(n)) = 0 ET qui admet deux valeurs d'adhérence a et b. Montrer alors que toute valeur de l'intervalle est encore une valeur d'adhérence.
C'est un cas particulier d'un résultat des séries convergentes mais non absolument convergentes (mais si tu poses la question tu ne connais pas a priori).
Maintenant on peux le montrer sans :
soit a<x<b
(u(n)) admet a comme valeur d'adhérence donc il y a une sous-suite qui converge vers a donc il existe des termes de rang aussi grand que l'on veut strictement inférieur à x.*
(u(n)) admet b comme valeur d'adhérence donc il y a une sous-suite qui converge vers b donc des termes de rang aussi grand que l'on veut strictement supérieur à x.*
(* : c'est à justifier évidemment)
Maintenant pour aller d'un terme u(n0)<x à un autre terme u(n1)>x cela se fait par "sauts" de taille u(n+1)-u(n) qui sont aussi petits que l'on veut à condition de prendre des rangs suffisamment grands. Si ces sauts sont <e (e>0 donné)alors il existe n compris entre n0 et n1 (qui doivent être bien choisis) tel que abs(u(n)-x)<e. (Une idée est de se placer à un "saut" d'un terme de la suite au suivant "par-dessus" x).
Toute l'idée d'une démo relativement simple y est, il reste à mettre tout en place rigoureusement.
Cordialement
Merci encore de me consacrer un peu de temps (le un peu est une façon de parler)
Soit donc a<x<b.On doit prouver qu'il existe une sous suite extraite de la suite de départ qui converge vers x.
U(n) admet a comme valeur d'adhérence. Par définition,cela signifie qe l'on peut extraire une sous-suite baptisée v(m) qui converge vers a. Par définition d'une limite pour tout e positif, il exixte N naturel tel que si n>N on a valeur absolue de v(n) - a < e. C'est vrai en particulier pour e=x-a. IL existe donc une infinité de terme de la suite u(n) de rang aussi grand que l'on veut strictement inférieure à x.
U(n) admet b comme valeur d'adhérence b. Par définition cela signifie que l'on peut extraire une sous suite baptiséé w(k) qui converge vers b. Par définition d'une limite, pour tout e il existe un naturel M tel que si n>M on a en valeur absolue w(n)-b < e . C'est vrai pour e= b-x et donc il existe une infinité de terme de la suite u(n) strictement supérieur à x . En prennant T = max ( N, M ) on peut considérer que les deux affirmations sont réalisées simultanément.
pouvez-vous encore me donner un coup de main pour la suite, merci
Bonjour,
Soit donc a<x<b.On doit prouver qu'il existe une sous suite extraite de la suite de départ qui converge vers x.
U(n) admet a comme valeur d'adhérence. Par définition,cela signifie qe l'on peut extraire une sous-suite baptisée v(m) qui converge vers a. Par définition d'une limite pour tout e positif, il exixte N naturel tel que si n>N on a valeur absolue de v(n) - a < e. C'est vrai en particulier pour e=x-a. IL existe donc une infinité de terme de la suite u(n) de rang aussi grand que l'on veut strictement inférieure à x.
U(n) admet b comme valeur d'adhérence b. Par définition cela signifie que l'on peut extraire une sous suite baptiséé w(k) qui converge vers b. Par définition d'une limite, pour tout e il existe un naturel M tel que si n>M on a en valeur absolue w(n)-b < e . C'est vrai pour e= b-x et donc il existe une infinité de terme de la suite u(n) strictement supérieur à x . En prennant T = max ( N, M ) on peut considérer que les deux affirmations sont réalisées simultanément.
pouvez-vous encore me donner un coup de main pour la suite, merci
Bon et bien une grosse partie est faite
Maintenant reste à "mettre en forme" l'idée on va d'une valeur strictement inférieure à x une valeur strictement supérieure à x par sauts de taille u(n+1)-u(n).
Regarde ce qu'il se passe si u(n)<x<u(n+1) (une grosse partie de l'argument montrant que ce n existe, et aussi grand que lon veut, est déjà donnée) et que u(n+1)-u(n) soit strictement inférieur à e (>0 fixé). Tu devrais arriver alors à conclure avec ce petit "rappel", tu trouves un trang pour un e donné, tu baisse le e et tu prends un rang plus grand, etc tu as une sous-suite.
Cordialement
Je ne sais pas encore clairement montrer qu'il existe n tel que u(n)<x<u(n+1).Admettons ce fait. Je propose alors comme suite . Le fait que lim u(n+1)- u(n) =0 signifie que pour tout e il existe une valeur N1 tel que si n>N1 on ait en valeur absolue u(n+1) -u(n) <e et donc toujours en valeur absolue x-u(n) < e. Appelons un tel un choisi w1; De même pour e/2 il existera un N2 tel que si n>N2 u(n+1<X<U(n) avec en valeur absolue u(n+1) -u(n) < e/2 et donc u(n) - x < e/2. Appellons cet élément w2. etc on fabrique ainsi une suite de wn exttraite de un tel wn - x < en valeur absolue à e/2^n-1 et donc lim wn - x en valeur absolue < lim e/2^n-1 = 0 donc la suite wn tend vers x. Je sais que cela ne se fait pas mais mon coté est demain et je n'ai plus beaucoup de temps. Pouvez-vous combler le premier point et vérifier le raisonnement. Encore un tout grand meci.
Bonjour
je vais partir pourr le coté de cet après-midi mais je reste intéressé par la solution. Merci encore de votre aide.
*** message déplacé ***
Bonjour
Je vais partir pour présenter le coté de cet après-midi mais je reste intéressé par la solution.
Un tout grand merci.
Oui kiko21 
J'ai prévenu les modérateur ( le temps qu'ils se réveillent :D )
cf ici :
valeur d'adhérence
-> simple erreur de post je pense !
Romain
*** message déplacé ***
Salut Romain,
Je l'ai repéré dans les topics restés sans réponse car il n'y avait pas d'énoncé ni de demande d'aide...
J'ai vu aussi qu'il s'agissait d'une erreur après avoir consulté comme toi le topic original
A+, KiKo21.
Excusez moi pour cette erreur de postage. Moncoté s'est bien passé. Je reste intéressé par la solution de ma question. Une bonne soirée à tous.
Bonjour,
Je ne sais pas encore clairement montrer qu'il existe n tel que u(n)<x<u(n+1).Admettons ce fait. Je propose alors comme suite . Le fait que lim u(n+1)- u(n) =0 signifie que pour tout e il existe une valeur N1 tel que si n>N1 on ait en valeur absolue u(n+1) -u(n) <e et donc toujours en valeur absolue x-u(n) < e. Appelons un tel un choisi w1; De même pour e/2 il existera un N2 tel que si n>N2 u(n+1<X<U(n) avec en valeur absolue u(n+1) -u(n) < e/2 et donc u(n) - x < e/2. Appellons cet élément w2. etc on fabrique ainsi une suite de wn exttraite de un tel wn - x < en valeur absolue à e/2^n-1 et donc lim wn - x en valeur absolue < lim e/2^n-1 = 0 donc la suite wn tend vers x. Je sais que cela ne se fait pas mais mon coté est demain et je n'ai plus beaucoup de temps. Pouvez-vous combler le premier point et vérifier le raisonnement. Encore un tout grand meci.
Le raisonnement est bon.
Pour ce qui manque,
On sait
1) il existe un rang n0 tel que u(n0)<x
2) il existe un rang n1 tel que u(n1)>x
{n entiers>=n0 ; u(n)>x} est donc non vide et a un plus petit élément.
Tout est là, reste à fignoler
Cordialement
je reprends donc en y mettant les notations de mon cours. Il existe une sous suite qui converge vers a. Désignons cette sous suite par u(l(k)).Donc par définition d'une limite pout tout e il existe un entier N1 tel que si k>N1, en valeur absolue u(l(k)) - a < e et c'est vrai pour e= x-a. De même, il existe une sous suite qui converge vers b. Désignons cette sous-suite par u(t(k)). Donc il existe un entier N2 tel que en va u(t(k)) - b < e. C'est vrai aussi pour e=b-x;Considéérons e < min (x-a, b-x) et N= max (N1,N2) on a alors pour k>N et e< min (x-a, b-x) u(l(k))< x-e et u(t(k)) >x+e.d'autre part lim u(n+1) - u(n) =0 Si l'on considère {n u(n)>x - e} cet ensenble est non vide car u(t(k))>x-e est minoré (par u(l(k)) et donc possède un minimum M;on a M<t(k) et > l(k) on a u(m+1) - u(m) < e et donc um appa
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