Annuler
connectez vous
- Fonctions sinus et cosinus
- Exercice sur les fonctions Sinus et Cosinus
- Variations autour des fonctions sinus et cosinus
- Fonction exponentielle - Fiche de Cours terminale
- Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
- Fiche sur les nombres complexes - terminale
- Limites de fonctions - Cours sur les limites
- Cours sur les suites en Terminale S
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Fonctions trigonométriquesTopics traitant de Fonctions trigonométriques [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Variations d'une fonction trigonométrique
Posté par Ausha
Bonjour, voici l'énoncé
Soit f la fonction définie sur I=[-π/2; 3π/2] par f(x) = 1 + sin(2x) + 2cos(x)
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1. Démontrer que pour tout x de I, f'(x) = -2(sin(x)+1)(2sin(x)-1)
Voilà ce que j'ai fait :
f'(x) = 2cos(2x) - 2 sinx
= 2 (1 - 2sin²x) - 2sinx
= -2 (2 sin²x + sinx - 1)
= -2 (2 sin²x + sinx - 1)
= -2(sin(x)+1)(2sin(x)-1)
Est-ce juste ?
2. Etudiez les variations de f sur I.
Sur ce point, je suis perdu, j'aurais besoin d'aide.
3. Prouver que l'équation f(x)=0 admet exactement deux solutions dans I et donner un encadrement d'amplitude 10-1 dans chacune de ces solutions. On notera α et β ces solutions de sorte que α<β
4. En déduire les variations de la fonction g définie sur I par g(x) = 2x-cos(2x)+4sin(x)
Merci à vous.
bonsoir
comment tu étudies la variation, d'ordinaire ?
tu calcules la dérivée, puis tu étudies son signe.
la question 1 a factorisé la dérivée : équation produit nul pour trouver ses racines.
(tu t'aides du cercle trigo)
Je suis navré, je ne sais pas faire d'équation produit nul dans le cas d'une fonction trigonométrique.
f'(x) = 0 
-2(sin(x)+1)(2sin(x)-1) = 0
sin(x)+1 = 0 ou 2sin(x)-1 = 0
on résout séparément ces 2 équations
puis on étudie le signe de f'(x).
----
sin(x) + 1 = 0
sin(x) = -1
sin(x) = sin(-
/2)
x = ....?
ou
x = ....?
ce lien peut t'aider 
Savoir utiliser le cercle trigonométrique et formules de trigonométrie
(équations trigo vers la fin)
précision, si besoin :
tu résous les équations sur R
ensuite seulement tu rechercheras les solutions sur I
Oh merci pour tout, tout parait plus clair à présent.
Donc les racines x sont -1 et 1 ?
Donc le signe de f'(x) :
De -π/2 à π/2 le signe est -
De π/2 à 3π/2, le signe est +
les racines de sin(x) + 1 = 0
ne sont pas 1 et -1
montre le détail de ta résolution.
quant au signe de f '(x), il faudra :
- étudier le signe de sin(x) + 1, quand tu auras ses racines
- étudier le signe de 2sin(x)-1 , quand tu auras ses racines
- ne pas oublier le facteur -2 présent dans la dérivée...
==> je te conseillerais de faire un tableau de signes (à part) pour la dérivée.
ps : si tu dois aller dormir, je reviens demain.
Navré, j'avais pas vu que c'était 2sin(x) - 1
Donc :
2sin(x) = 1
2sin(x) = sin(π/2)
x = π/4
Est-ce mieux ?
2sin(x) = 1
sin(x) = 1/2
sin(x) = sin(?)
prends le temps d'étudier le cours, tu le gagneras largement ensuite 
ce lien aussi peut te servir Cercle trigonométrique et valeurs remarquables
J'ai lu le cours, merci.
Mais de ce que je vois, sin(x) + 1 = 0 n'aurait pas qu'une seule solution ? c'est-à-dire -π/2 ou π/2+π
sin(x) = 1/2
sin(x) = sin(π/6)
Donc x = π/6 ou 5π/6
Oui il est à rendre demain, je suis navré pour le temps que vous me consacrer et mon manque de rigueur.
sin(x) + 1 = 0
sin(x) = sin(-pi/2)
x = -/2 + 2kp k
OU
x = -(-/2) + 2k'p k'
x = -/2 + 2kp k
OU
x = 3/2 + 2k'p k'
sur I, l'ensemble des solutions de cette équation est {-/2 ; 3/2}
-----
pour sin(x) = 1/2
sin(x) = sin(π/6)
Donc x = π/6 ou 5π/6 ---- c'est ça, mais à justifier avec rigueur
----
à présent, tableau de signes (détaillé) pour f '(x)
D'accord, très bien merci.
Pour :
sin(x)+1, c'est positif partout
sin(x) = 1/2, C'est négatif entre -π/2 et π/6, positif entre π/6 et 5π/2, négatif entre 5π/2 et 3π/2
sin(x)+1, c'est positif partout
sin(x) = 1/2, C'est négatif entre -π/2 et π/6, positif entre π/6 et 5π/2, négatif entre 5π/2 et 3π/2
exact
f'(x) est négatif entre ..... quelles ? racines
non
f '(x) est négatif seulement entre les racines pi/6 et 5pi/6
positif à l'extérieur
complète ton tableau de variation en calculant les images des bornes et racines
je viens de voir :
tu parles de 5pi/2, je suppose que c'est une erreur de frappe, car c'est 5pi/6
(5pi/2 n'appartient pas à I)
Oui effectivement, c'est une erreur de frappe, je m'occupe de mon tableau de variation en ce moment.
j'avance un peu :
3) TVI; soignes-en la rédaction, comme sur les exos du cours.
applique-le 2 fois,
car 2 intervalles concernés (que tu constates sur ton tableau de variation) :
[pi/ ; 5pi/6]
[5pi/6;3pi/2]
utilise ta calculette ou géogébra pour déterminer les encadrements demandés.
positionne 
et 
sur la ligne des x du tab. de variation.
==> dans le tableau, sous la variation de f, rajoute une ligne pour le signe de f
4) dérive g(x)
tu dois trouver g '(x) =2f(x)
2 étant positif, le signe de g ' est donc identique à celui de f
==> utilise la ligne du signe de f et complète avec la variation de g
Salut,
concernant la question 1 je comprends la première ligne de la dérivée mais pas les suivantes
Ausha @ 14-11-2019 à 20:27
f'(x) = 2cos(2x) - 2 sinx (Ca Ok)
= 2 (1 - 2sin²x) - 2sinx
= -2 (2 sin²x + sinx - 1)
= -2 (2 sin²x + sinx - 1)
= -2(sin(x)+1)(2sin(x)-1)
f'(x) = 2cos(2x) - 2 sinx (Ca Ok)
= 2 (1 - 2sin²x) - 2sinx
= -2 (2 sin²x + sinx - 1)
= -2 (2 sin²x + sinx - 1)
= -2(sin(x)+1)(2sin(x)-1)
Si vous pouviez m'aider, merci.
bonsoir IamMe,
f'(x)
= 2cos(2x) - 2 sinx
= 2 (1 - 2sin²x) - 2sinx ------- cos(2x) = 1 - 2sin²(x) est une formule de duplication, à connaitre
= -2 (2sin²x - 1 ) - 2sinx ----- je rajoute cette étape, afin de mettre en évidence le facteur commun -2
= -2 (2 sin²x + sinx - 1)
pour factoriser entre les parenthèses :
2 sin²x + sinx - 1
= 2 sin²x + 2sinx - sinx - 1
= 2sinx(sinx + 1) - (sinx + 1)
= (sinx + 1)(2sinx - 1)
d'accord ?