compact

Posté par spirou spirou

Bonjour

Je suis mal à l'aise vis à vis de ce qui suit

On a vu que dans un espace métrique, les compacts sont les fermés et les bornés. On vient de voir (théorème de Riesz) que si X est un espace vectoriel normé et si la boule fermée unité est un compact, l'espace X est de dimension finie. Or un espace de dimension infinie est aussi un espace métrique. La boule fermée unité ne serait donc pas un compact de X. C'est la que quelque chose m'échappe. Cela voudrait-il dire que la boule fermée unité ne serait pas bornée dans un espace de dimension infinie ?
merci de m'aider à lever cette incompréhension ?
Spirou

Posté par klevia (invité)

Je n'en suis pas sur mais il me semble qu"en dimension infinie, compact implique  fermé borné mais que fermé borné n'implique pas compact

Posté par Cauchy Cauchy

Bonjour,

dans un espace vectoriel normé de dimension finie sur R ou C, les compacts sont les fermés bornés.

Le théorème de Riesz nous dit qu'un espace vectoriel normé est de dimension finie si et seulement si la boule unité fermée est compacte.

Si l'espace est de dimension finie, la boule unité fermée est compacte car fermée bornée c'est la réciproque qui demande un peu de travail.

P.S: compact implique toujours fermé et borné dans un métrique.

Posté par spirou spirou

Bonjour et merci de votre réponse. Suite à votre remarque pensez-vous que le raisonnement suivant est bon.

1) Dans un espace métrique, tout compact est une partie fermée et bornée.
2) Dans Rn prouvons que les parties fermées et bornées sont compactes.
Soit P une partie bornée de Rn. Alors il existe un pavé [a1,b1]x...[aN,bN]=Q
tel que P soit contenu dans Q. Q est un compact car produit de compact. Si, de plus P est fermée, aloes P est compacte en tant que partie fermée d'un compact. Donc dans Rn compact et fermé borné sont des notions équivalentes.
3) Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit B={e1,...eN} une base de E. Alors tout vexteur x est combili des vecteurs de B. Soit
x= k1e1+......+ kNeN . Soit norme(x) = /k1/ + ...... /kN/ (toutes les normes de E sont équivalentes).Désignons par S la boule fermée unité dans Rn
S={ (k1,....,KN) avec /k1/ + .... + /kn/}. S est un compact car S est un fermé et borné de RN. Considérons l'application T avec
T(k1,.....,kN)=k1e1+ .... + knen T est une application linéaire continue et l'image d'un compact par T est un compact. Donc la boule fermée unité dans E
{x de E avec norme(x) plus petit ou égal à 1} est compact.Dès lors toute boule fermée de E est un compact et donc dans il y a aussi équivalence entre compact et fermé borné.
4) Pourquoi ce raisonnement ne marche t-il plus dans un vectoriel de dimension infinie? Pourtant un produit infini de compact est un compact?
Les trois premières parties sont-elles bonnes ?
Merci de votre réponse

Posté par Cauchy Cauchy

Tu as juste oublié dans ta définition de S de mettre que la norme vaut 1.

L'image de S par T est plutôt la sphère unité fermée de E non?

En dimension infinie, tu n'as pas de base de cardinal fini donc tu peux pas te ramener à R^n.

Posté par spirou spirou

Merci de ta réponse Cauchy et heureux de te retrouver.
S= {(k1,  kn) avex /k1/ +   /kn/ plus petit ou égal à un}
Alors l'image de S par T est la boule fermée.
Encore merci pour l'aide.
Spirou

Posté par Cauchy Cauchy

Ok d'accord, donc oui ta preuve est correcte en dimension finie.

Pour la dimension infinie si on essaye de démarrer de la même façon, par exemple supposons qu'on ait une base algébrique dénombrable e1,e2,...en,... alors tout vecteur est combinaison linéaire d'un nombre fini des ei.

On est amené à travailler dans , déja en dimension infinie il va falloir préciser la norme car toutes les normes ne sont pas équivalentes. Ensuite S va être fermé borné mais non compact donc ça tombe à l'eau.

En dimension infinie, les compacts sont fins si on peut dire, tout compact est d'intérieur vide par exemple.

Posté par spirou spirou

Merci Cauchy et bonne journée.

Posté par Cauchy Cauchy

Bonne journée.