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topologie faible *

Posté par
romu 15-10-08 à 12:30

Bonjour,

il y a une démo où j'ai du mal à saisir quelques points dans le Brezis.

Proposition: Soit \varphi:\ E' \rightarrow \mathbb{R} une application linéaire et continue pour la topologie faible * \sigma(E',E). Alors il existe x\in E tel que

3$\varphi(f)=<f,x>\qquad \forall f\in E'.


Lemme: Soit X un espace vectoriel sur \mathbb{R} et soient \varphi,\ \varphi_1,\ \varphi_2,...,\ \varphi_n des formes linéaires sur X telles que

3$[\varphi_i(v)=0,\qquad \forall i=1,2,...,n]\ \Longrightarrow\ [\varphi(v)=0].

Alors il existe \lambda_1,\ \lambda_2,...,\ \lambda_n\in \mathbb{R} tels que \varphi = \Bigsum_{i=1}^n \lambda_i \varphi_i


démonstration de la proposition: Comme \varphi est continue pour \sigma(E',E) il existe un voisinage V de 0 pour \sigma(E',E) tel que

3$|\varphi(f)|<1\qquad \forall f\in V.

On peut supposer que V est de la forme V=\{f\in E':\ |<f,x_i>|<\varepsilon,\ \forall i=1,2,...,n\}
avec x_i\in E et \varepsilon>0.

En particulier si <f,x_i>=0\qquad \forall i=1,2,...,n, alors \varphi(f)=0. (c'est là que je ne saisis pas pourquoi a-t'on \varphi(f)=0? )

Appliquant le lemme on voit que

3$\varphi(f)=\Bigsum_{i=1}^n \lambda_i <f,x_i> = <f,\Bigsum_{i=1}^n \lambda_i x_i>\qquad \forall f\in E'.


Merci pour votre aide.

Posté par
mrnocnocre : topologie faible * 15-10-08 à 14:47

Ok, j'ai compris:
Soit \eta >0
si |<f,x_i>| < \eta pour i entre 1 et n, alors:
\frac{\epsilon}{\eta} f vérifie les hypothèses pour avoir:
|\phi(\frac{\epsilon}{\eta} f)| < 1
Par linéarité, on a donc |\phi(f)| < \frac{\eta}{\epsilon}
Il ne reste plus qu'à faire tendre \eta vers 0!

Posté par
romure : topologie faible * 15-10-08 à 15:11

ah oui bien vu

merci mrnocnoc.


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