Bonjour,
quelle est ta définition de surface ?

re bonjour,
j'ai deux définitions d'une surface :
1 ) application differentiable injective d'un ouvert de R2 dans R3, tel que le rang de la differentielle est égal à 2
2 ) le gradiant de f est orthogonal au plan vectoriel tangent


Merci

Bonjour,
ca ne me semble pas de bonnes définitions, peut être que tu veux parler du graphe de la fonction pour ta première définition ?

Non, dans mon cours c'est la définition de " surface", mais il est possible que ma prof se soit trompé, parce qu'elle n'est pas francaise et elle traduit d'un livre mot à mot, donc c'est possible que ca soit faux.
Comment je peux faire pour démontrer avec la deuxieme definition qu'une surface n'est pas un ouvert de R3?

Soit un ouvert non vide dr ² et f une application differentiable injective  de dans ³, telle que le rang de la differentielle soit égal à 2 partout .

S = f() est une ("bonne") surface . On dit que ( , f) est un paramétrage de S.

exemple: = {x ² / (x₁)² + (x₂)² < 1} et f : x (x , y , ((x₁)² + (x₂)^21/2)

Autre définition : Soit U un ouvert de ³ et F : U

On considère T = {x U / F(x) = 0} . On dit que F = 0 est une équation de T. Si F est différentiable et si son gradient n'est jamais nul on dit aussi que T est une ("bonne") surface .

exemple : U = ³ et F (x₁)² + (x₂)² + (x₃)² - 1 .

Il y a des théorèmes qui démontrent que les 2 sortes de ("bonnes") surfaces sont (à peu près) les mêmes.

okayyy
d'accord en utilisant la premiere c'est immédiant l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert.
Mais à partir de la deuxieme définition comment je peux me rapprocher de ce theoreme?

enfin je veux dire à partir de ma deuxieme définition.
J'ai un cours assez bref en fait.
J'aimerai me ramener à ma définition afin de pouvoir utiliser le premier theoreme.

Considérons f définie définie et différentiable sur un ouvert U de ² à valeurs dans ³. On suppose que 0 U (on peut toujours s'y ramener.

Notons E = (ker(df(0))) et F = ker(f(0)).

Pour tout x de U, on note x = v + w où v E et w F.
D'une part, puisque f est différentiable en 0, f(x) = f(0) + df(0)(x) + o(x) = f(0) + df(0)(v) + o(x).
Da'autre part, puisque f est différentiable en v, f(x) = f(v) + df(v)(w) + o(w)

D'où f(v) - f(0) = df(v)(w) - df(0)(v) + o(w) + o(x).  (1)
Mais on a aussi f(v) - f(0) =  df(0)(v) + o(v).  (2)

Et ce pour tout x assez petit : on peut considérer le cas x = w (x ker(df(0)). On obtient avec (1) et (2) : df(0)(v) = o(v), soit df(0) = 0.
Ceci est contraire à l'hypothèse de départ selon laquelle df(0) est de rang 2.

Merci beaucoup, ca m'a beaucoup aider.
A bientot !!