Connexité/Connexité par arcs

Posté par Foxdevil Foxdevil

Bonjour à tous,

J'aimerais avoir de l'aide pour un petit exercice que j'ai du mal à résoudre. Il s'agit de démontrer qu'un ensemble est connexe mais non connexe par arcs. Cet ensemble est défini par:

()()

La non-connexité par arcs est assez intuitive. Mais pour la connexité, c'est plus dur à voir. Et je bloque sur la manière de le prouver.

Merci de bien vouloir m'aider

Posté par romu romu

Bonjour,

on va noter ton ensemble et va appeler "dents" les demi-droites qui forment et on dira qu'elles sont de type 1 si , de type 2 si .
étant non vide, on peut considérer deux ouverts disjoints et , de sorte que soit non vide.

Si je ne dis pas de bêtise, on peut alors suivre ce plan:

1) si contient un point , il contient aussi la dent qui contient .

2) On suppose que ne contient que des dents de type 2. Par densité de dans , on doit pouvoir montrer que toutes les dents de type 2 sont dans .
Alors et on peut en déduire que n'est pas ouvert (en regardant ses dents, qui sont de type 1, à une ordonnée nulle), ce qui est impossible.

3) On suppose que contient au moins une dent de type 1. On doit pouvoir montrer que contient toutes les dents (qu'elles soient de type 1 ou 2) et en déduire que , ce qui prouve bien la connexité.

Posté par romu romu

j'ai oublié de préciser: on suppose aussi que et sont de réunion .

Posté par Foxdevil Foxdevil

Bonjour romu,

Merci pour ta réponse.

Ton plan m'a l'air intéressant dans l'ensemble. Dans l'immédiat, je ne vois pas comment faire aboutir chaque étapes. Je t'explique ce qui me gène.

1) Pourquoi doit contenir la dent qui contient (sachant qu'il contient )? n'est qu'un ouvert de , autrement dit la "trace" d'un ouvert de sur notre ensemble. Donc étant ouvert relatif de , il peut tout à fait ne pas contenir une dent entière, non?

2) et 3) Compte tenu de ma remarque au 1), le reste semble devenir caduque. Mais en supposant que cela soit correct, je ne vois pas en quoi avoir que des dents 2 entraine avoir toutes les dents 2 (même avec l'argument de densité)?

3) ça me parait correct. Il faut éliminer (je pense) par le même argument que 2, le cas où U ne contient que des dents 1. Qu'est-ce qui fait ensuite que contient toute les dents (densité?)?

Encore merci, et je m'excuse d'avance si mes questions ont des réponses évidentes mais là, ça ne me parait pas clair .

Posté par romu romu

1) la dent qui contient est connexe, et les traces de et partitionnent cette dent en deux ouverts disjoints (de la dent). Or la trace de sur cette dent est non vide, et est donc égale à toute la dent.

Les dents de type 2 sont très proches les unes des autres, la trace d'une boule ouverte autour d'un point sur une dent doit nécessairement déborder sur les dents d'à côté. Et de proche en proche toutes les dents de type 2 doivent être englobées dans le même ouvert .

Si contient que des dents de type 1, le fait qu'il soit ouvert doit entraîner qu'il a toutes les dents de type 1, et donc s'il ne contient que des dents de type 1, il ne peut être ouvert, car l'union des dents de type 1 n'est pas ouvert dans .
Pour voir ça et pour voir le fait que contient du coup toutes les dents, on doit pouvoir le faire en regarder le bout d'une dent de type 1:
contient une dent de type 1  .Alors le point est dans . Et là on doit pouvoir voir que n'importe quelle boule ouverte de centrée en déborde sur les dents de type 2.

Posté par Arkhnor Arkhnor

Bonjour.

Je me permets de répondre à la place de romu. (que je salue)

Si contient , comme et sont des ouverts disjoints recouvrant (ce que romu n'a pas dit dans son post, mais c'est naturel, puisqu'on cherche à prouver la connexité), et comme les dents sont connexes (par arcs), alors contient la dent de . (on regarde les traces de et sur la dent, ce sont des ouverts disjoints qui recouvrent la dent, et la trace de est non vide, donc égale à toute la dent)

Ensuite, on remarque que les dents ne sont pas ouvertes dans , et donc que n'est pas égal à une dent seulement.
Si contient une dent 2, il contient toutes les dents 2 qui ne sont "pas très loin" : on prend un point x de la dent, il existe un voisinage de x contenu dans , or ce voisinage intersecte toutes les dents 2 autour de .
On doit alors pouvoir prouver que contient toutes les dents 2.
Peut-être en remarquant que l'ensemble est un intervalle de , et en montrant qu'il n'est ni majoré, ni minoré. (ce n'est qu'une suggestion, ça ne marche peut-être pas, et il y a peut-être plus simple)
On en déduit une absurdité, comme indiqué dans le message de romu.
Si contient une dent 1, alors, en regardant un voisinage du point "racine" de la dent, on montre qu'il contient aussi une dent 2.
A partir de là, on démontre, comme dans le cas précédent, qu'il contient toutes les dents 1 et toutes les dents 2, et on conclut.

Je n'ai rien écrit sur le papier, je ne certifie pas que tout marche.

Posté par Arkhnor Arkhnor

Le temps d'écrire le message, de faire une pause, de revenir terminer, et romu a déjà répondu.

Posté par romu romu

Salut Arkhnor.

Posté par Foxdevil Foxdevil

Les points sont parfaitement clairs romu.

Pour Arkhnor, ton idée pour montrer que U contient toutes les dents 2 semble marcher. Je te dis comment je l'ai fait. On suppose que l'ensemble est majoré. Il existe donc une borne sup qui est soit dedans soit pas dedans (logique ). Si elle est dedans (alors sa dent aussi), il existe d'autres dents "supérieures" (c'est à dire avec une première coordonnée plus grande) qui sont dedans (car un voisinnage fait que les dents proches sont dedans...), contradiction avec le caractère de borne supérieure. Donc le sup n'est pas dedans. Par densité des irrationnels, on fabrique une suite de point de l'ensemble convergeant vers ce sup. La convergence implique que toutes boules de rayon strictement positif centré en ce sup contiennent une infinité de termes (et donc un morceau de segment) de l'ensemble, ce qui fait appartenir le morceau de segment après le sup à l'ensemble. En particulier le sup est alors dans l'ensemble, re-contradiction. L'ensemble n'est donc pas majoré (même argument pour la minoration).

J'ai vraiment l'impression que ça se montre de manière plus simple et moins lourde...mais bon, ne soyons pas plus royaliste que le roi!

En tout cas, je vous remercie d'avoir pris le temps de me répondre et de m'expliquer. Je pense avoir compris.

Posté par romu romu

Ton peigne n'est pas évident non plus. Il y a des peignes connexes mais pas par arcs qui semblent plus simples comme à la dernière page de ce pdf: .

Posté par romu romu

On pourrait l'appeler peigne anti-poux celui-là

Posté par Foxdevil Foxdevil

Je te remercie pour l'exemple. Il est vrai qu'il est beaucoup plus simple.

Par contre j'ai le sentiment qu'il y a un problème dans la définition du peigne, je pense que dans la deuxième union c'est y qui varie entre 0 et 1 et x qui vaut 1/n (sinon la précision x entre 0 et 1 est inutile). Et vu le dessin, ça ne peut être que ça....

Pour avoir des contre-exemple simple pour montrer que connexe et connexe par arc ne sont pas pareils, on dirait qu'il faut construire des bizarreries genre peignes.....a-t-on d'autres exemples (autres que peignes) plus ou moins facilement constructibles?

Posté par romu romu

Oui effectivement, il y a une petite coquille.

Dans le genre peigne, il y a apparemment encore celui-là: .

Dans un autre genre, tu as l'adhérence du graphe de . Il doit y en avoir d'autres.

Posté par Foxdevil Foxdevil

Je suis gâté avec les exemples de connexité/non-connexité par arcs .

Pour celui avec sin(1/x) y aurait-il moyen que tu me donnes la preuve?

Posté par romu romu

Il y a une démo sur l'article de wiki pour un exemple quasi-pareil: .

Posté par romu romu

Il y a un autre exemple un peu plus exotique que je n'ai pas étudié, la longue ligne étendue: .

Posté par Foxdevil Foxdevil

Oui les exemples de sin(1/x) et cos(1/x) semblent classiques pour ce genre de contre-exemples et ce sont les plus simples. Par contre, je dois bien admettre que mes connaissances sont insuffisantes pour cerner vraiment les propriétés de la longue ligne étendue....je vais essayer de chercher plus de documentations dessus.

Merci pour les exemples