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Isomorphisme bicontinu


licenceIsomorphisme bicontinu

#msg3353874#msg3353874 Posté le 13-12-10 à 21:41
Posté par ProfilDcamd Dcamd

Bonsoir,

Je voudrais comprendre pourquoi ceci montrer qu'une application en est bien un. (isomorphisme bicontinu)

f:2->
f(x,y)=sin(y)+xy4+x2
On a : f(0,0)=0
et (f/y)(0,0)=10

Et cela suffit apparemment pour appliquer le théorème des fonctions implicites.

Merci d'avance.

Dcamd
re : Isomorphisme bicontinu#msg3353973#msg3353973 Posté le 13-12-10 à 23:11
Posté par ProfilGaBuZoMeu GaBuZoMeu

Bonsoir,

Question incompréhensible. Quelle application ? Isomorphisme bicontinu veut dire homéomorphisme ?

Peux-tu énoncer ce que donne le théorème des fonctions implicites dans la situation que tu présentes ?
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re : Isomorphisme bicontinu#msg3353991#msg3353991 Posté le 13-12-10 à 23:23
Posté par ProfilDcamd Dcamd

Bonjour GaBuZoMeu,

Le théorème des fonctions implicites après les calculs indiqués dans l'énoncé de ma question permet de conclure que :

Il existe deux voisinages ouverts U et V de 0 dans et une fonction :U de classe C tels que pour tout xU, (x) est l'unique solution yV de l'équation f(x,y)=0.

Et apparemment, une des conditions pour appliquer le théorème est que la dérivée partielle de f par rapport à la seconde variable soit un isomorphisme bicontinu.
(Je comprends ça comme : application différentielle réciproque existe et est continue).
re : Isomorphisme bicontinu#msg3353992#msg3353992 Posté le 13-12-10 à 23:24
Posté par ProfilDcamd Dcamd

Pourquoi trouver 1 0 permet de conclure ?
re : Isomorphisme bicontinu#msg3354011#msg3354011 Posté le 13-12-10 à 23:44
Posté par ProfilFoxdevil Foxdevil

Bonsoir Dcamd,

Citation :
(Je comprends ça comme : application différentielle réciproque existe et est continue).
Pas exactement. C'est l'application différentielle partielle qui a une réciproque continue (et non nécessairement toute la différentielle). Dans le cadre du théorème des fonctions implicites à deux variables (le cas présent), la différentielle est une matrice (1,2), donc la différentielle partielle (en fait pour l'obtenir il suffit juste de "couper" ta matrice jacobienne) est la partie (1,1) qui ne contient que le coefficient de dérivation partielle de la fonction par rapport à y au point considéré. Or un matrice (1,1) est inversible si et seulement si elle est non nulle (c'est juste un réel!). C'est pourquoi ds ce cas-ci, montrer que c'est différent de 0 est suffisant. Si on utilisait les fonctions implicites en dimensions supérieures, il y aurait effectivement un "vrai" travail sur une différentielle (partielle) pour montrer qu'elle est inversible etc...
re : Isomorphisme bicontinu#msg3354018#msg3354018 Posté le 13-12-10 à 23:51
Posté par ProfilDcamd Dcamd

Ok, Merci Foxdevil. C'est beaucoup plus clair !
re : Isomorphisme bicontinu#msg3354031#msg3354031 Posté le 14-12-10 à 00:24
Posté par ProfilFoxdevil Foxdevil

Je t'en prie.

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