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Espace Métrique- Orthogonal de F
Bonjour,
Soit E, un espace préhilbertien, et F 
dans E
J'ai du mal à démontrer qu'un orthogonal de F ({y 
E tel que <y,x>=0, pour tout x}) est un fermé de E.
Pour prouver que F est fermé, il suffit de montrer que son complémentaire est ouvert; soit qu'il existe une boule ouverte entièrement contenue dans le complémentaire.
Dans l'exercice, est introduit une boule B(x,r) qui appartient au complémentaire.
"On peut décrire B(x,r) comme l'ensemble des points de la forme x+tz (z à E), ||z||= 1 et où t [0,1[ Alors,
<x+tz,y> = <x,y> + t <z,y>
On a |<z,y>|
||z|| ||y|| = ||y|| = constante
Avec t
0 suffisamment petit, et puisque <x,y>
0,
On s'assure ainsi que <x+tz,y>0"
Je n'arrive pas à comprendre la partie en gras, et toute aide me serait d'une grande utilité.
Merci d'avance à tous,
SF
Pour tout x de E , <x,.> est une forme linéaire continue et l'orthogonal de A est l'intersection des noyaux des <a,.> ( a A) .
Il te suffit donc de montrer que tous les Ker(<x,.>) sont fermés.
Merci beaucoup pour la réponse. Mais cette exercice a été donné avant le chapitre sur la continuité.
1) Je ne comprend pas d'ou vient ce "x+tz", en quoi une boule peut elle être exprimé ainsi?
2) <x+tz,y> = <x,y> + t <z,y> Comment le t a t'il pu être mis en facteur?
3) On a [b]|<z,y>|||z|| ||y||[/b] D'ou est ce déduit?
Merci encore por votre aide
Bonjour,
1) Ta description de B(x,r),r>0, n'est pas tout à fait juste.
Par définition et tu veux montrer que c'est aussi l'ensemble
.
L'inclusion est évidente puisque
.
L'autre inclusion se fait tout simplement aussi : si et est différent de x alors tu remarqueras que
et alors l'écriture
convient.
Pour mieux voir la description de cette boule, trace B(1,3) dans le plan par exemple.
2) Il faut quand même savoir ce qu'est un produit scalaire : une forme bilinéaire !
En particulier, puisque t est un scalaire !
3) Cauchy-Schwarz !
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