mauvais choix de x.
directement  r =< R et ||a-b|| =< R-r.
soit x de B(a,r)  
||x-a||=<r
||x-b||=<||x-a||+||a-b||=<r+R-r=R

Désolé, la contraposée était, en partie, pour la première implication si vous avez bien remarqué.. la deuxième est évidement trivial..

ok l'autre implication.
si

r >R
alors soit x= a+k(a-b)   tel que ||k(a-b)||=r  (k positif)  
||x-b||=||(a-b)(k+1)||=(k+1)||a-b||=r+||a-b|| >= r >R

sinon
||a-b|| > R-r.
soit x= a+k(a-b)   tel que ||k(a-b)||=r  (k positif)  (c'est le même).
||x-b||=r+||a-b|| >r+R-r=R

Si r>R, il suffit de prendre a=b.. non?

Sinon, merci.

||x-b||=r+||a-b|| ???? par quel droit!