Niveau Maths sup

Ensembles ouverts

Posté par
ferenc 26-11-11 à 14:36

Bonjour,
Soit $f: D\subset\mathbb{R}\to\$ une fonction continue sur $D$ un ensemble ouvert.
Je dois démontrer que si $B\in Im(f)$ alors $A=f^{-1}(B)$ est un ensemble ouvert.

Voici la preuve de mon corrigé:
Soit $x_0\in A$ .

$\bullet$ Puisque $B$ ouvert, $\exists\epsilon>0:]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon[\subset B$

$\bullet$ Puisque $f: D\to\mathbb{R}$ continue sur $D,\exists\delta_1>0:|x-x_0|<\delta_1\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$

$\bullet$ Puisque $D$ ouvert, $\exists\delta_2>0:]x_0-\delta_2,x_0+\delta_2[\subset D$

Ainsi, en posant $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ , on a:
$|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$

Et donc $x\in A$ si $x\in]x_0-\delta,x_0+\delta[$

-------------
Ma question:
Je ne comrend pas pourquoi ce qu'on a fait implique

Citation :
$x\in A$ si $x\in]x_0-\delta,x_0+\delta[$

merci

Posté par re : Ensembles ouverts 26-11-11 à 14:43

Bonjour

Tu as des fautes de frappe dans l'énoncé, mais j'ai compris que tu veux prouver que si B est opuvert, alors A l'est...

Si on prend $x\in]x_0-\delta,x_0+\delta[$ on a $x\in D$ puisque $\delta \leq \delta_2$ . On a aussi $|x-x_0| < \delta_1$ , donc $|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$ , qui a été choisi de manière a assurer que dans ce cas $f(x)\in B$ . Donc $x\in f^{-1}(B)$

Posté par re : Ensembles ouverts 26-11-11 à 15:08

pour $f(x)\in B$ pas de souci, mais que cela implique $x\in f^{-1}(B)$ désolé, mais je ne vois pas pourquoi.
Somme nous d'accord que, $f(x)\in B\Rightarrow x\in D$ ??
C'est à dire que pour montrer que $f(x)\in B\Rightarrow x\in f^{-1}(B)$ , il faudrait montrer que $D\subset f^{-1}(B)$ , non ?

Posté par re : Ensembles ouverts 26-11-11 à 15:10

Il y a des problèmes de définition!

$A=f^{-1}(B)=\{x\in D|f(x)\in B\}$

Posté par re : Ensembles ouverts 26-11-11 à 15:12

j'avoue, vu sous cet angle, ça parait évident !!! ahahah
merci infiniment !!!
bonne journée !!!

Posté par re : Ensembles ouverts 26-11-11 à 15:14

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