Fiche de mathématiques

Les dérivées

exercice 1

Donner la meilleure approximation affine de f en a :

1. $f : x \mapsto 3x + 1$ ; a = 2.

2. $f : x \mapsto x^2 + 4x - 1$ ; a = 1.

exercice 2

Calculer le nombre dérivé de f en a :

1. $f : x \mapsto 2x - 3$ ; a = 0

2. $f : x \mapsto 3x^2 + 2x - 1$ ; a = 2

3. $f : x \mapsto \dfrac{x-2}{x-3}$ ; a = 2

4. $f : x \mapsto \sqrt{5-x}$ ; a = 4

exercice 3

Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ :

1. $f : x \mapsto 2x^3 - 5x^2 + x + 1$

2. $f : x \mapsto (2 - x)^3$

3. $f : x \mapsto \dfrac{4}{x}$

4. $f : x \mapsto \dfrac{-2}{x-1}$

5. $f : x \mapsto \dfrac{2x-1}{x+2}$

6. $f : x \mapsto 3x-5+\dfrac{3}{2x}$

7. $f : x \mapsto x^2+\sqrt{x}$

8. $f : x \mapsto \sqrt{5x-4}$

exercice 4

Écrire une équation de la tangente à la courbe (C) représentative de f au point A d'abscisse a :

1. $f : x \mapsto -x^2 + 2x + 3$ ; a = -1

2. $f : x \mapsto \dfrac{x+3}{x-2}$ ; a = 3

3. $f : x \mapsto \dfrac{x^2+x+1}{x+2}$ ; a = 1

exercice 5

Étudier le sens de variation et établir le tableau de dérivation des fonctions f considérées dans l'exercice 4.

Correction

exercice 1

1. $f : x \mapsto 3x + 1$ ; a = 2
La meilleure approximation affine de $f$ en a est : $3\times2+1=7$

2. $f : x \mapsto x^2 + 4x - 1$ ; a = 1.
La meilleure approximation affine de f en a est : $1^2+4\times1-1=4$

exercice 2

1. $f(x)= 2x - 3$ ; a = 0
Calculons la dérivée de $f$ , on a :
$f'(x)=2\times1-0=2$
Donc la dérivée de cette fonction est constante, et le nombre dérivé de $f$ en a=0 est donc:
$\fbox{f'(a)=2}$

2. $f(x)=3x^2 + 2x - 1$ ; a = 2
Calculons la dérivée de $f$ , on a :
$f'(x)=3\times2x+2-0=6x+2$
Le nombre dérivé de $f$ en a=2 est donc, $6\times2+2$
$\fbox{f'(a)=14}$

3. $f(x)=\dfrac{x-2}{x-3}$ ; a = 2
Calculons la dérivée de $f$ , on a :
$f'(x)=\dfrac{1\times(x-3)-(x-2)\times1}{(x-3)^2}=-\dfrac{1}{(x-3)^2}$
Le nombre dérivé de $f$ en a=2 est donc, $-\dfrac{1}{(2-3)^2}=-1$
$\fbox{f'(a)=-1}$

4. $f(x)=\sqrt{5-x}$ ; a = 4
Calculons la dérivée de $f$ , on a :
$f'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{5-x}}$
Le nombre dérivé de $f$ en a=4 est donc, $\dfrac{-1}{2\sqrt{5-4}}=-\dfrac{1}{2}$
$\fbox{f'(a)=-\dfrac{1}{2}}$

exercice 3

1. $f(x)=2x^3-5x^2+x+1$
On a:
$(2x^3)'=2\times3x^2=6x^2$ et $(5x^2)'=5\times2x^1=10x$ , $(x)'=1$ et $(1)'=0$ .
On en déduit donc la dérivée de $f$ qui est :
$\fbox{f'(x)=6x^2-10x+1}$

2. $f(x)=(2-x)^3$
On se sert de $(u^n)'=nu^{n-1}.u'$
On a donc : $f'(x)=3(2-x)^2\times(2-x)'$
$f'(x)=3(2-x)^2\times(-1)$
On en déduit donc la dérivée de $f$ qui est :
$\fbox{f'(x)=-3(2-x)^2}$

3. $f(x)=\dfrac{4}{x}$
Cette expression se décompose de cette maniere:
$4\times\dfrac{1}{x}$
De plus, $\dfrac{1}{x}$ est une fonction usuelle. On se sert donc de celle-ci, on a: $\left(\dfrac{1}{x}\right)'=\dfrac{-1}{x^2}$ .
Soit : $f'(x)=4\times\dfrac{-1}{x^2}$ .
On en déduit donc la dérivée de $f$ qui est :
$\fbox{f'(x)=\dfrac{-4}{x^2}}$

4. $f(x)=\dfrac{-2}{x-1}$
On va se servir de $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}$
On a donc : $f'(x)=-2\times\dfrac{-(x-1)'}{(x-1)^2}$
$f'(x)=-2\times\dfrac{-1}{(x-1)^2}$
$f'(x)=\dfrac{2}{(x-1)^2}$
On en déduit donc la dérivée de $f$ qui est :
$\fbox{f'(x)=\dfrac{2}{(x-1)^2}}$

5. $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}$
On se sert donc de : $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
On a donc : $f'(x)=\dfrac{(2x-1)'(x+2)-(2x-1)(x+2)'}{(x+2)^2}$
Ce qui donne : $\dfrac{2(x+2)-(2x-1)}{(x+2)^2}$
La dérivée de $f$ est donc :
$\fbox{f'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}}$

6. $f(x)=3x-5+\dfrac{3}{2x}$
On a : $(3x)'=3$ , $(5)'=0$ et, en se servant de : $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}$ , on a : $\left(\dfrac{3}{2x}\right)'= 3\times\dfrac{-(2x)'}{4x^2}$ .
On en déduit donc que la dérivée de $f$ est:
$f'(x)=3-\dfrac{6}{4x^2}$
$\fbox{f'(x)=3 - \dfrac{3}{2x^2}}$

7. $f(x)=x^2+\sqrt{x}$
$\fbox{f'(x)=2x+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}$

8. $f(x)=\sqrt{5x-4}$
$\fbox{f'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{5x-4}}}$

exercice 4 et 5

1. $f(x) =-x^2+ 2x + 3$ et a = -1.
Calculons la dérivée de $f$ , on a
$(-x^2)'=2x$ , $(2x)'=2$ et $(3)'=0$ Soit :
$f'(x)=-2x+2$
L'équation de la tangente étant $y= f(a)+f'(a)(x-a)$ , calculons-la pour a=-1, on a:
$y= -2(-1)^2+2\times-1+3+(-2\times-1+2)(x+1)$
$y=-2-1+3+4(x+1)$
On en déduit donc la tangente de $f$ en -1 qui est :
$\fbox{y=4x+4}$
Étudions le signe de la dérivée qui est $-2x+2$ .
La dérivée est donc positive sur ] $-\infty$ ; 1 [ et négative sur ] 1 ;+ $\infty$ [
$\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f & \niveau{1}{2} & \croit & \niveau{2}{2} 4 & \decroit & \niveau{1}{2} \\ \hline \end{tabvar}$
La fonction de départ, $f(x)$ est donc croissante sur ]- $\infty$ ; 1 [ et décroissante sur ] 1 ;+ $\infty$ [.

2. $f(x) =\dfrac{x+3}{x-2}$
Calculons sa dérivée à l'aide de $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ ,
On a donc:
$f'(x)=\dfrac{(x+3)'(x-2)-(x-2)'(x+3)}{(x-2)^2}$
$f'(x)=\dfrac{(x-2)-(x+3)}{(x-2)^2}$
$f'(x)=\dfrac{x-2-x-3}{(x-2)^2}$
$\fbox{f'(x)=\dfrac{-5}{(x-2)^2}}$
En a=3 on a donc $f'(a)=\dfrac{-5}{(3-2)^2}=-5$
La tangente a la courbe (C) représentative de $f$ au point A d'abscisse a est donc, l'équation de la tangente étant $y= f(a)+f'(a)(x-a)$ ,
$y=\dfrac{3+3}{3-2}-5(x-3)=6-5x+15$
$y=-5x+21$
La tangente de $f$ en a=3 est donc :
$\fbox{y=-5x+21}$
Étudions le signe de la dérivée qui est $=\dfrac{-5}{(x-2)^2}$ .
-5 ne s'annule jamais et $(x-2)^2$ s'annule en 2
Tableau de signes :
$\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & \| & - & \\ \hline f & \niveau{1}{2} & \decroit & \niveau{2}{2} & \decroit & \niveau{1}{2} \\ \hline \end{tabvar}$
La dérivée est donc toujours négative, la fonction de départ est donc toujours décroissante.

3. $f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+2}$ et a = 1
Calculons sa dérivée à l'aide de $\left(\dfrac{u}{v}`\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ ,
On a donc :
$f'(x)=\dfrac{(x^2+x+1)'(x+2)-(x+2)'(x^2+x+1)}{(x+2)^2}$
$f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x+2)-(x^2+x+1)}{(x+2)^2}$ soit $f'(x)=1-\dfrac{3}{(x+2)^2}$
L'équation de la tangente étant $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ , calculons la pour a=1, on a:
$f'(a)=1-\dfrac{3}{9}$
$y= 1+\dfrac{2}{3}(x-1)=1+\dfrac{2x}{3}-\dfrac{2}{3}$
$y =\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}$
On en déduit donc la tangente de f en 1 qui est :
$\fbox{y =\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}}$
Étudions le signe de la dérivée qui est $\dfrac{(x+2)^2-\sqrt{3}^2}{(x+2)^2}$
ce qui revient à : $\dfrac{(x+2-\sqrt{3})(x+2+\sqrt{3})}{(x+2)^2}$ , on a donc
$\fbox{f'(x)= \dfrac{(x+2-\sqrt{3})(x+2+\sqrt{3})}{(x+2)^2}}$
$x+2-\sqrt{3}$ s'annule en $-2+\sqrt{3}$ , $x+2+\sqrt{3}$ en $-2-\sqrt{3}$ et $(x+2)^2$ en $-2$ .
Tableau de signes :
$\begin{tabular}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -2-\sqrt{3} & & -2 & & -2+\sqrt{3} & & +\infty \\ \hline x+2-\sqrt{3} & & - & & - & & - & 0 & + & \\ \hline x+2+\sqrt{3} & & - & 0 & + & & + & & + & \\ \hline (x+2)^2 & & + & & + & \| & + & & + & \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \| & - & 0 & + & \\ \hline \end{tabular}$
La dérivée est donc positive sur ]- $\infty$ ; $-2-\sqrt{3}$ [ $\cup$ ] $-2+\sqrt{3}$ ;+ $\infty$ [ et négative sur ] $-2-\sqrt{3}$ ; $-2+\sqrt{3}$ [.
La fonction de départ, $f(x)$ est donc croissante sur ]- $\infty$ ; $-2-\sqrt{3}$ [ $\cup$ ] $-2+\sqrt{3}$ ; + $\infty$ [ et décroissante sur ] $-2-\sqrt{3}$ ; $-2+\sqrt{3}$ [.
$\begin{tabvar}{|c|CCCCCCCCC|} \hline x & -\infty & & -2-\sqrt{3} & & -2 & & -2+\sqrt{3} & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \| & - & 0 & + & \\ \hline f & \niveau{1}{2} & \croit & \niveau{2}{2} & \decroit & \niveau{1}{2} \niveau{2}{2} & \decroit & \niveau{1}{2} & \croit & \niveau{2}{2} \\ \hline \end{tabvar}$