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Fiche de mathématiques





exercice 1

Forme canonique
Donner la forme canonique des fonctions polynômes f du second degré définies par :

1. f(x) = 2x² - 8x + 6

2. f(x) = -x² -2/3 x - 1/9

3. f(x) = 5/2 x² + 15x + 30



exercice 2

Équation du second degré
Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes :

1. -x² + 6x -10 = 0

2. x² + 4x - 21 = 0

3. 9x² + 6x + 1 = 0



exercice 3

Factorisation
Factoriser les expressions suivantes :

1. x² + 4x -21

2. 8x² + 8x + 2

3. -3x² + 7x -8



exercice 4

Signe
Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de :

1. f1(x) = 8x² + 8x + 2

2. f2(x) = 2x² - 3x + 2

3. f3(x) = -x² -3x + 10
Sans calculer f3(-7), f3(1/2), f3(148), indiquer les signes de ces nombres.



exercice 5

Inéquations du second degré
Résoudre dans \mathbb{R} les inéquations suivantes :

1. 2x² - 3x + 2 < 0

2. 8x² + 8x + 2 \le 0

3. -x² -3x + 10 < 0



exercice 6

Somme et produit des racines
1. Résoudre mentalement les équations suivantes :
    a) 3x² + 7x - 10 = 0
    b) 2x² + 9x + 7 = 0

2. Vérifier que 2 est racine de l'équation : x² + 11x - 26 = 0.
Quelle est l'autre racine ?

3. Écrire une équation du second degré admettant les nombres 3 et -5 pour racines.

4. Existe-t-il deux nombres ayant pour somme 9 et pour produit -70 ? si oui, les calculer.



exercice 7

Sens de variation et représentation graphique
1. Ecrire la forme canonique de la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x) = 3x² + 12x - 9
Dresser son tableau de variations et construire sa représentation graphique dans un repère orthonormé (0;\vec{i};\vec{j}) du plan.

2. La courbe représentative (P) d'une fonction polynôme f du second degré admet pour sommet le point S(1;2) ; Elle passe aussi par les points A(-1;0) et B(3;0) .
* Dessiner (P).
* Dresser le tableau de variation de f.
* Expliciter f(x) (donner l'écriture de f(x))
* Résoudre graphiquement, après avoir tracé (P) de façon précise :
    - l'équation      f(x) = 3/2
    - l'inéquation     f(x) \ge 0



exercice 1

Rappel :
La forme canonique d'un polynôme est a\left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \left( \dfrac{\Delta}{4a^2} \right) \right] avec \Delta = b^2 - 4ac

1. f(x) a pour forme canonique : 2[(x -2)² - 1]

2. f(x) a pour forme canonique : -(x +(1/3))²

3. f(x) a pour forme canonique : 5/2[(x + 3)² + 3]



exercice 2

1.\Delta < 0 donc -x² + 6x -10 = 0 n'admet aucune solution dans \mathbb{R}

2.\Delta > 0 donc x² + 4x - 21 = 0 admet deux racines réelles x1 = \left(-b - \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2\text{a}}\right) et x2 = \left(-b + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2\text{a}}\right)
S=\left\lbrace-7 ; 3\right\rbrace

3.\Delta = 0 donc 9x² + 6x + 1 = 0 admet une racine double x = \dfrac{-\text{b}}{2\text{a}}
S=\left\lbrace-\dfrac{1}{3}\right\rbrace



exercice 3

1. \Delta > 0 donc x² + 4x - 21 se factorise en : (x + 7)(x - 3).

2. \Delta = 0 donc 8x^2 + 8x + 2 se factorise en : 8\left(x + \dfrac{1}{2} \right)^2

3. \Delta < 0 donc -3x² + 7x -8 ne se factorise pas



exercice 4

1. \Delta = 0 donc 8x² + 8x + 2 est du signe de a donc 8x² + 8x + 2 est positif ou nul

2. \Delta < 0 donc 2x² - 3x + 2 est strictement du signe de a donc 2x² - 3x + 2 est positif.

3. \Delta > 0 donc -x² -3x + 10 est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de - a à l'intérieur.
Or -x² -3x + 10 admet comme racines 2 et - 5
Donc -x² -3x + 10 > 0 lorsque x appartient à ]-5 ;2[
-x² -3x + 10 < 0 lorsque x appartient à ] - \infty ; -5[ \cup ]2 ; + \infty[
-x² -3x + 10 = 0 lorsque x = -5 ou x = 2
f3(-7) < 0 , f3(1/2)> 0 et f3(148) < 0



exercice 5

1. \Delta < 0 donc 2x² - 3x + 2 est strictement du signe de a donc 2x² - 3x + 2 est positif. Donc S=\emptyset

2. \Delta = 0 donc 8x² + 8x + 2 est du signe de a donc 8x² + 8x + 2 est positif ou nul. Donc S=\left\lbrace-\dfrac{1}{2}\right\rbrace

3. \Delta > 0 donc -x² -3x + 10 est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de - a à l'intérieur.
Or -x² -3x + 10 admet comme racines 2 et - 5.Donc S= ]-\infty ; -5[ \cup ]2 ; +\infty[



exercice 6

1. Résoudre mentalement les équations suivantes :
a) 3x^2+7x-10=0
\boxed{x=1}
b) 2x^2+9x+7=0
\boxed{x=-1}

2. Vérifier que 2 est racine de l'équation x^2+11x-26=0
On remplace x par 2, si le polynôme s'annule 2 est bel et bien une racine de l'équation ci-dessus.
(2)^2+11\times2 -26 \\ =4+22-26 \\ =0
Quelle est l'autre racine ?
Dans le cas d'un polynôme du second degrès de type ax^2+bx+c , le produit des deux racines et de a vaut c , autrement dit : \alpha_{1} \times \alpha_{2} \times a = c .
Ici on a \alpha_{1}=2, a=1, c=-26, par conséquent \boxed{\alpha_{2}=-13}

3. Écrire une équation du second degrès admettant les nombres 3 et -5 pour racines.
Le polynôme recherché admet pour racines a et b, il est alors factorisable en P(x)=(x-a)(x-b)g(x) , avec g(x) un autre polynôme de degrès Deg(P)-2 . Ici comme le polynôme P est de degrès 2, on peut le mettre sous la forme : k(x-3)(x+5) , soit kx^2+2kx-15k=0 . Par exemple avec k=1, on a : x^2+2x-15=0 . Et 3 et -5 sont des racines évidentes de cette équation.

4. Existe-t-il deux nombres ayant pour somme 9 et pour produit -70 ? Si oui, les calculer.
On doit résoudre le système d'équations suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x+y & 9  \\  x\times y & -70 \\ \end{array} \right.
On isole une des deux variables de la deuxième équation, puis on la remplace dans la première, ce qui aboutit à une équation du deuxième degrès que l'on pourra résoudre :
x\times y = -70 \\ x=\dfrac{-70}{y} On remplace x dans la première ligne du système :
\dfrac{-70}{y}+y=9 \\ \dfrac{y^2-70}{y}=9 \\ y^2-70=9y \\ y^2-9y-70=0
On remarque que ce polynôme aurait bien pu admettre comme variable x , après avoir effectuer le discriminant, on aura 2 racines qui correspondront à x et y (peu importe).
\Delta = b^2-4ac \\ \Delta = (-9)^2-4(1\times -70) \\ \Delta=81+280 \\ \Delta=361
\alpha_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ \alpha_{1}=\dfrac{9-19}{2}
\boxed{\alpha_{1}=-5}
\alpha_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ \alpha_{2}=\dfrac{9+19}{2}
\boxed{\alpha_{2}=14}
On en conclut que le couple (x;y) est associé au couple de solution (-5 ; 14).



Merci à Profilinfophile infophile pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche



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